Enunciado

Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo x, do conjunto de todos os pares (x,y), tais que :

1 ≤ x ≤   4 e 0 ≤ y ≤ x

Passo 1

A integração será um problema pequeno comparado a visualização, então preste bastante atenção nos gráficos, eles serão nossa bússola em problemas de volume de figuras rotacionadas.

Sem mais enrolação, vamos começar pelo que nos dará a direção, dá uma olhadinha nesses gráficos que estão aqui embaixo:

Inicialmente iremos fazer um esboço dos gráficos das figuras da questão:

1 ≤ x ≤   4

0 ≤ y ≤ x

E agora a interseção entre esses dois gráficos de verde!

Passo 2

Para calcular o volume do sólido rotacionado em torno do eixo x, temos que analisar qual é a interseção e qual os intervalos de integração, que serão as retinhas que delimitam a figura de interseção.

Nesse problema você pode dar uma olhada e vai perceber que é para x = 1   e   x = 4

Caso tenha esquecido, tá aí a fórmula:

V   =   π ∫ f ( x ) 2 d x  

Passo 3

Nosso intervalo de integração será   x = 1   e   x = 4 , e a função f ( x ) = x

Não esqueça, devemos elevar f ( x ) ao quadrado, pois é ela a parte de “dentro” da integral:

f ( x ) 2 = x

V   =   π ∫ 1 4 x d x = π   x 2 2 4 1 = π ( 8 - 1 2 ) = 15 π 2

Resposta

V = 15 π 2

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