Enunciado

Calcule

int (1)/(sqrt(4 + x^2)) d x

Passo 1

A função dentro da integral é:

f (x) = sqrt(4 + x^2)

Não parece muito familiar?

Na verdade a resolução pra esse tipo de função é chamada substituição trigonométrica e funciona assim:

A gente pega um triângulo retângulo com ângulo theta como esse:

Agora imagine que um dos catetos vale 2, e o outro cateto vale x , concorda comigo que a hipotenusa vai valer sqrt(4 + x^2) ?

Então que substituição poderíamos fazer?

Bem, se dissermos que (sqrt(4 + x^2))/(2) = sec theta então (x)/(2) = tan theta -> d x = 2 sec^2 theta d theta

Assim podemos substituir a integral dessa forma:

int (1)/(sqrt(4 + x^2)) d x = int (1)/(2 sec theta) xx 2 sec^2 theta d theta = int sec theta d theta

Ótimo! Agora podemos calcular essa integral de maneira mais fácil

Passo 2

Agora só precisamos achar o valor de int sec theta d theta

Pra isso vamos fazer assim:

int sec theta ((sec theta + tan theta))/((sec theta + tan theta)) d theta = int ((sec^2 theta + sec theta tan theta))/((sec theta + tan theta)) d theta

Que exatamente:

(d (sec theta + tan theta))/(d theta) = (sec^2 theta + sec theta tan theta)

Podemos substituir pela variável w = sec theta + tan theta -> d w = (sec^2 theta + sec theta tan theta) d theta

Assim:

int ((sec^2 theta + sec theta tan theta))/((sec theta + tan theta)) d theta = int (1)/(w) d w = ln | w | + k = ln |sec theta + tan theta| + k

Substituindo, teremos:

int sec theta d theta = ln |sec theta + tan theta| + k

Passo 3

Agora precisamos voltar pra variável x , lembrando:

(sqrt(4 + x^2))/(2) = sec theta e (x)/(2) = tan theta

Assim:

int sec theta d theta = ln |sec theta + tan theta| + k

int (1)/(sqrt(4 + x^2)) d x = ln |(sqrt(4 + x^2))/(2) + (x)/(2)| + k

int (1)/(sqrt(4 + x^2)) d x = ln |(sqrt(4 + x^2) + x)/(2)| + k

Lembrando que

ln |(a)/(b)| = ln |a| - ln |b|

Assim, podemos reescrever a função como:

int (1)/(sqrt(4 + x^2)) d x = ln |sqrt(4 + x^2) + x| - ln |2| + k

Como ln 2 se trata de um número, podemos considera-lo como parte da constante:

k - ln 2 = c

E substituir:

int (1)/(sqrt(4 + x^2)) d x = ln |sqrt(4 + x^2) + x| + c

Resposta

int (1)/(sqrt(4 + x^2)) d x = ln |sqrt(4 + x^2) + x| + c

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Use a tabela de integrais ao final do livro para calcular as integrais 31 - ∫ x 1 - x d x
Considere a região delimitada pelos gráficos de y = xtan - 1 ⁡ x , y=0 0 para 0 ≤ x ≤ 1 . Determine o volume do sólido formado pela rotação dessa região em torno do eixo das abscissas (veja figura a s
Rota de um esquiador aquático – Suponha que um barco tenha sido posicionado na origem com um esquiador amarrado no ponto (30,0), como uma corda de 30 pés de comprimento. À medida que o barco viaja ao
Calcule ∫ x 3 1 - x 2 d x usando: Integração por parteSubstituição por uSubstituição trigonométrica
Considere a região delimitada pelos gráficos de y = sin - 1 ⁡ x , y = 0 e x = 1 / 2 Determine a área da regiãoDetermine a centroide da região