Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 15.9 - Ex. 17
- Calcule , onde é o sólido delimitado pelo elipsoide . Utilize a transformação , , .
- A Terra não é perfeitamente esférica; como resultado da rotação, os polos foram achatados. Assim, seu formato pode ser aproximado por uma elipsoide com km e km. Use o item (a) para estimar o volume da Terra.
Passo 1
- Para calcular essa integral vamos usar:
- Substituindo os valores de , e na integral que achamos no passo anterior:
Primeiro vamos achar o jacobiano, que é da seguinte forma:
Vamos então calcular cada elemento e fazer a substituição.
Passo 2
Temos que é a derivada de em função de :
Temos que é a derivada de em função de :
E é a derivada de em função de :
Temos que é a derivada de em função de :
Temos que é a derivada de em função de :
E é a derivada de em função de :
Temos que é a derivada de em função de :
Temos que é a derivada de em função de :
E é a derivada de em função de :
Passo 3
Pronto, agora é só substituir e calcular:
Passo 4
Podemos ver a região como o elipsoide , vamos substituir as transformações nele:
O que nos dá uma imagem .
Temos que , podemos então dizer que e integrar usando coordenadas esféricas.
Passo 5
Agora vamo substituir na integral:
Passo 6
Resposta
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