Enunciado

  1. Calcule ∭ E d V , onde E é o sólido delimitado pelo elipsoide x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1 . Utilize a transformação x = a u , y = b v , x = c w .
  2. A Terra não é perfeitamente esférica; como resultado da rotação, os polos foram achatados. Assim, seu formato pode ser aproximado por uma elipsoide com a = b = 6   378 km e c = 6   356 km. Use o item (a) para estimar o volume da Terra.

Passo 1

  1. Para calcular essa integral vamos usar:
  2. ∭ R f x , y , z d V = ∭ S f x u , v , w , y u , v , w , z u , v , w ∂ x , y , z ∂ u , v , w d u d v d w

    Primeiro vamos achar o jacobiano, que é da seguinte forma:

    ∂ x , y , z ∂ u , v , w = ∂ x ∂ u ∂ x ∂ v ∂ x ∂ w ∂ y ∂ u ∂ y ∂ v ∂ y ∂ w ∂ z ∂ u ∂ z ∂ v ∂ z ∂ w

    Vamos então calcular cada elemento e fazer a substituição.

    Passo 2

    Temos que ∂ x ∂ u é a derivada de x em função de u :

    ∂ x ∂ u = ∂ ∂ u a u = a

    Temos que ∂ x ∂ v é a derivada de x em função de v :

    ∂ x ∂ v = ∂ ∂ v a u = 0

    E ∂ x ∂ w é a derivada de x em função de w :

    ∂ x ∂ w = ∂ ∂ w a u = 0

    Temos que ∂ y ∂ u é a derivada de y em função de u :

    ∂ y ∂ u = ∂ ∂ u b v = 0

    Temos que ∂ y ∂ v é a derivada de y em função de v :

    ∂ y ∂ v = ∂ ∂ v b v = b

    E ∂ y ∂ w é a derivada de y em função de w :

    ∂ y ∂ w = ∂ ∂ w b v = 0

    Temos que ∂ z ∂ u é a derivada de z em função de u :

    ∂ z ∂ u = ∂ ∂ u c w = 0

    Temos que ∂ z ∂ v é a derivada de z em função de v :

    ∂ z ∂ v = ∂ ∂ v c w = 0

    E ∂ z ∂ w é a derivada de z em função de w :

    ∂ z ∂ w = ∂ ∂ w c w = c

    Passo 3

    Pronto, agora é só substituir e calcular:

    ∂ x , y , z ∂ u , v , w = ∂ x ∂ u ∂ x ∂ v ∂ x ∂ w ∂ y ∂ u ∂ y ∂ v ∂ y ∂ w ∂ z ∂ u ∂ z ∂ v ∂ z ∂ w = a 0 0 0 b 0 0 0 c = a b c + 0 + 0 - 0 - 0 - 0 = a b c

    Passo 4

    Podemos ver a região E como o elipsoide x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1 , vamos substituir as transformações nele:

    x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1 → a 2 u 2 a 2 + b 2 v 2 b 2 + c 2 w 2 c 2 = 1 → u 2 + v 2 + w 1 = 1

    O que nos dá uma imagem u 2 + v 2 + w 1 ≤ 1 .

    Temos que x 2 + y 2 + z 2 = ρ 2 , podemos então dizer que ρ = 1 e integrar usando coordenadas esféricas.

    Passo 5

    Agora vamo substituir na integral:

    ∭ E d V = ∭ S f x u , v , w , y u , v , w , z u , v , w ∂ x , y , z ∂ u , v , w d u d v d w = ∫ 0 π ∫ 0 2 π ∫ 0 1 a b c ρ 2 sen ⁡ ϕ d ρ d θ d ϕ = a b c ∫ 0 π ∫ 0 2 π ∫ 0 1 ρ 2 sen ⁡ ϕ d ρ d θ d ϕ = a b c ∫ 0 π ∫ 0 2 π sen ⁡ ϕ ρ 3 3 0 1 d θ d ϕ = a b c ∫ 0 π ∫ 0 2 π sen ⁡ ϕ 3 d θ d ϕ = a b c 3 ∫ 0 π ∫ 0 2 π sen ⁡ ϕ d θ d ϕ = a b c 3 ∫ 0 π sen ⁡ ϕ θ 0 2 π d ϕ = 2 a b c π 3 ∫ 0 π sen ⁡ ϕ d ϕ = 2 a b c π 3 - cos ⁡ ϕ 0 π = 2 a b c π 3 - cos ⁡ π - - cos ⁡ 0 = 2 a b c π 3 - - 1 - - 1 = 4 a b c π 3

    Passo 6

  3. Substituindo os valores de a , b e c na integral que achamos no passo anterior:

∭ E d V = 4 a b c π 3 = 4 . 6378.6378.6356 π 3 ≈ 1083.10 12   k m ³

Resposta

  1. ∭ E d V = 4 a b c π 3
  2. ∭ E d V ≈ 1083.10 12   k m ³
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a) Calcule ∭ E d V , onde E é o sólido limitado pelo elipsoide x 2 / a 2 + y 2 / b 2 +z 2 / c 2 = 1 . Utilize a transformação x = a u , y = b v , z = c w .b) A Terra não é perfeitamente esférica; como
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