1. Calcule

a)   ∫ 0 2 1 x - 1 3   d x

Passo 1

Queremos calcular a seguinte integral:

I =   ∫ 0 2 1 x - 1 3   d x

Como nossa função é descontínua em x = 1 , vamos fazer o seguinte:

I = lim t → 1 ⁡ ∫ 0 t 1 x - 1 3   d x + lim t → 1 ⁡ ∫ t 2 1 x - 1 3   d x  

Nesse caso, temos que fazer essa brincadeira de dividr em dois termos e usar l i m t → 1 para não termos o problema do denominador zerar. Beleza?!

Passo 2

Então, vamos resolver a integral entre pontos genéricos a e b e deposi voltamos para expressão do Passo 1.

J = ∫ a b 1 x - 1 3   d x

Para isso, vamos fazer a seguinte substituição de variável:

u = x - 1

Derivando,

d u = d x

Como fizemos uma substituição, temos que mudar os limites de integração. Assim,

x = a → u = a - 1

x = b → u = b - 1

Então nossa integral fica o seguinte:

J = ∫ a - 1 b - 1 1 u 3 d u

Não esquece: ∫ x n d x   = x n + 1 n + 1 + c   quando   n   ≠ - 1

J = u - 1 3 + 1 - 1 3 + 1 | a - 1 b - 1

Portanto,

J = 2 3 × b - 1 2 3 - a - 1 2 3

Passo 3

Voltando para expressão do Passo 1:

I = lim t → 1 ⁡ ∫ 0 t 1 x - 1 3   d x + lim t → 1 ⁡ ∫ t 2 1 x - 1 3   d x

Usando o resultado do Passo 2:

I = l i m t → 1 2 3 × t - 1 2 3 - 0 - 1 2 3 + l i m t → 1 2 3 × 2 - 1 2 3 - t - 1 2 3

Assim,

I = 2 3 × 1 - 1 2 3 - 0 - 1 2 3 + 2 3 × 2 - 1 2 3 - 1 - 1 2 3

Fazendo as contas:

I = 0

Resposta

∫ 0 2 1 x - 1 3   d x = 0

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