72- Calcule

a) ∫ - 1 1 x cos ⁡ x 2 d x

b) ∫ 0 π s e n 8 x cos 5 ⁡ ( x ) d x

Passo 1

a)Uma coisa muito interessante sobre integrais é que quando temos uma integral definida que vai de –a até a, podemos checar a paridade da função que está dentro da integral para resolvê-la sem fazer contas, pois|:

Se a função for impar : ∫ - a a f x d x = 0

Mas se for par é :

2 ∫ 0 a f x d x

Se não for nenhuma das duas só nos resta calcular mesmo, mas esse é um bom truque para resolver algumas integrais sem ter que fazer conta.

Passo 2

Agora vamos testar a paridade da função em questão, mas antes vamos lembrar o que significa uma função ser impar ou par:Uma função é par se para todo x vale a seguinte propriedade:

f - x = f ( x )

E é impar se para todo x vale a seguinte propriedade:

f - x = - f ( x )

Para fazer o teste basta calcular a função em menos x e simplificar, desta forma:

f x = x cos ⁡ x 2

f - x = - x cos ⁡ - x 2 = - ( x cos ⁡ x 2 ) =   - f x

Sendo assim nossa função é impar.

Utilizando a propriedade acima citada, temos que:

∫ - 1 1 x cos ⁡ x 2 d x = 0

Passo 3

b) Bom, como estamos tratando de substituição simples, temos que encontrar uma forma de simplificar expressão e tentar encontrar a substituição. Para usá-la, precisamos localizar f ( x ) e f ' ( x ) na integral. Lembrando que a derivada de s e n ( x ) é c o s ( x ) , e com isso já temos uma idéia da função que precisamos achar.

Vamos separar o c o s ⁡ ( x ) da seguinte forma: cos 5 ⁡ x = cos 4 ⁡ x . c o s ⁡ ( x )

Agora nós já temos a derivada de s e n ( x ) , porém se fizermos a substuição:

u = s e n x d u = cos ⁡ x d x

Teríamos:

∫ u 8 cos 4 ⁡ ( x ) d u

O que não nos ajudaria em nada a resolver o problema, pois teriamos duas funções em variáveis diferentes para resolver, então vamos pensar em uma forma de transformar esse cos 4 ⁡ ( x ) em alguma coisa que envolva o s e n ( x ) .

Passo 4

Para isso, vamos utilizar a seguinte propriedade de potenciação:

cos 4 ⁡ x = ( cos 2 ⁡ x ) 2

E combinando isso com a seguinte identidade trigonométrica, obtemos o resultado que esperavamos, ou seja, uma função que não tem nenhum c o s ( x ) sobrando. cos 2 ⁡ x = 1 - s e n 2 ( x )

Após isso temos que a nossa expressão assume a seguinte forma:

∫ s e n 8 ( x ) ( 1 - sen 2 ⁡ x ) 2 c o s ⁡ ( x )   d x

Agora realizando a substituição

u = s e n x d u = cos ⁡ x d x

Temos:

∫ u 8 1 - u 2 2 ⁡ d u

Passo 5

Bem, agora nos resta resolver essa bendita integral:

∫ u 8 1 - u 2 2 d u = ∫ u 8 1 - 2 u 2 + u 4 d u = ∫ u 8 d u - 2 ∫ u 10 d u + ∫ u 12 d u

Utilizando a fórmula de resolução da integral polinomial:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C

Temos que:

∫ u 8 d u - 2 ∫ u 10 d u + ∫ u 12 d u = u 9 9 - 2 u 11 11 + u 13 13

Voltando da variável u para x, temos:

s e n 9 ( x ) 9 - 2 s e n 11 ( x ) 11 + s e n 13 ( x ) 13

Como s e n 0 = s e n π , temos que o resultado será:

0 - 0 = 0

Resposta

  1. 0
  2. 0
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