Enunciado

72- Calcule

a) int_(- 1)^1 x sqrt(cos (x^2)) d x

b) int_0^(pi) s e n^8 (x) cos^5 ( x ) d x

Passo 1

a)Uma coisa muito interessante sobre integrais é que quando temos uma integral definida que vai de –a até a, podemos checar a paridade da função que está dentro da integral para resolvê-la sem fazer contas, pois|:

Se a função for impar : int_(- a)^a f (x) d x = 0

Mas se for par é :

2 int_0^a f (x) d x

Se não for nenhuma das duas só nos resta calcular mesmo, mas esse é um bom truque para resolver algumas integrais sem ter que fazer conta.

Passo 2

Agora vamos testar a paridade da função em questão, mas antes vamos lembrar o que significa uma função ser impar ou par:Uma função é par se para todo x vale a seguinte propriedade:

f (- x) = f ( x )

E é impar se para todo x vale a seguinte propriedade:

f (- x) = - f ( x )

Para fazer o teste basta calcular a função em menos x e simplificar, desta forma:

f (x) = x sqrt(cos (x^2))

f (- x) = - x sqrt(cos ((- x)^2)) = - ( x sqrt(cos (x^2)) ) = - f (x)

Sendo assim nossa função é impar.

Utilizando a propriedade acima citada, temos que:

int_(- 1)^1 x sqrt(cos (x^2)) d x = 0

Passo 3

b) Bom, como estamos tratando de substituição simples, temos que encontrar uma forma de simplificar expressão e tentar encontrar a substituição. Para usá-la, precisamos localizar f ( x ) e f ' ( x ) na integral. Lembrando que a derivada de s e n ( x ) é c o s ( x ) , e com isso já temos uma idéia da função que precisamos achar.

Vamos separar o c o s ( x ) da seguinte forma: cos^5 (x) = cos^4 (x) . c o s ( x )

Agora nós já temos a derivada de s e n ( x ) , porém se fizermos a substuição:

u = s e n (x) d u = cos (x) d x

Teríamos:

int u^8 cos^4 ( x ) d u

O que não nos ajudaria em nada a resolver o problema, pois teriamos duas funções em variáveis diferentes para resolver, então vamos pensar em uma forma de transformar esse cos^4 ( x ) em alguma coisa que envolva o s e n ( x ) .

Passo 4

Para isso, vamos utilizar a seguinte propriedade de potenciação:

cos^4 (x) = ( cos^2 (x) )^2

E combinando isso com a seguinte identidade trigonométrica, obtemos o resultado que esperavamos, ou seja, uma função que não tem nenhum c o s ( x ) sobrando. cos^2 (x) = 1 - s e n^2 ( x )

Após isso temos que a nossa expressão assume a seguinte forma:

int s e n^8 ( x ) ( 1 - sen^2 (x) )^2 c o s ( x ) d x

Agora realizando a substituição

u = s e n (x) d u = cos (x) d x

Temos:

int u^8 (1 - u^2)^2 d u

Passo 5

Bem, agora nos resta resolver essa bendita integral:

int u^8 (1 - u^2)^2 d u = int u^8 (1 - 2 u^2 + u^4) d u = int u^8 d u - 2 int u^(10) d u + int u^(12) d u

Utilizando a fórmula de resolução da integral polinomial:

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C

Temos que:

int u^8 d u - 2 int u^(10) d u + int u^(12) d u = (u^9)/(9) - (2 u^(11))/(11) + (u^(13))/(13)

Voltando da variável u para x, temos:

(s e n^9 ( x ))/(9) - (2 s e n^(11) ( x ))/(11) + (s e n^(13) ( x ))/(13)

Como s e n (0) = s e n (pi) , temos que o resultado será:

0 - 0 = 0

Resposta

  1. 0
  2. 0
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