Enunciado

Onde, na curva y = 1 + x 2 - 1 , a reta tangente tem a maior inclinação?

Passo 1

Então pessoal, a curva que nos foi dada é a seguinte:

y = 1 + x 2 - 1

Como estamos falando de reta tangente, então estamos falando de derivada da nossa curva, não é mesmo? Sendo assim, derivando:

m = d y d x

m = - 1 1 + x 2 - 2 . 2 x

∴ m = - 2 x 1 + x 2 2

A fim de facilitar nossa visualização do problema chamamos a derivada, ou melhor, a reta tangente da curva de m , tudo bem? Show!

Passo 2

Note que estamos interessados em saber quando m tem a maior inclinação, ou seja, quando m é máximo! Sendo assim, temos que derivar nossa nova função m novamente, se liga:

d m d x = - 2 . 1 + x 2 2 - 2 x . 2 1 + x 2 . 2 x 1 + x 2 4

Vale ressaltar que aqui utilizamos a regra do quociente, tudo bem? Simplificando:

d m d x = 2 3 x 2 - 1 1 + x 2 4

Igualando nossa derivada a zero:

2 3 x 2 - 1 1 + x 2 4 = 0

E isso aí só dá zero se:

3 x 2 - 1 = 0

∴ x = ± 1 3

Ok, encontramos os pontos críticos da nossa reta tangente!

Passo 3

Tendo em vista esses pontos críticos, como vamos saber qual dos dois é ponto de máximo? Se calcularmos os limites infinitos da função m , teremos:

lim x → ± ∞ ⁡ m = 0

Disso conseguimos concluir que o ponto de máximo se encontra em x = - 1 3 . Aplicando esse valor em y , teremos:

y = 3 4

Sendo assim, podemos concluir que a reta tangente tem maior inclinação em - 1 3 , 3 4 .

E está aí nossa resolução, galera! 😉

Resposta

A reta tangente tem maior inclinação em - 1 3 , 3 4 .

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