Enunciado

Suponha que o número de bactérias em uma cultura no instante t seja dado por:

N = 5000 25 + t e - t 20

a) Encontre o maior e o menor número de bactérias no intervalo de tempo 0 ≤ t ≤ 100 .

b) Em que momento, no intervalo de tempo de a), o número de bactérias decresce mais rapidamente?

Passo 1

a) Então galera, a função que nos foi dada é a seguinte:

N = 5000 25 + t e - t 20

Vale ressaltar que a função está contida no intervalo de tempo t : 0 ,   100 . Show! Para encontrarmos o maior e menor número de bactéricas nesse intervalo de tempo devemos utilizar os conceitos de máximos e mínimos do Cálculo, ok? Sendo assim, de início temos que derivar nossa função. Dessa forma:

d N d t = 5000 1 . e - t 20 + t . e - t 20 . - 1 20

Simplificando:

d N d t = 5000 e - t 20 1 - t 20 = 250 20 - t e - t 20

Show! Encontramos nossa derivada!

Passo 2

Agora que encontramos nossa derivada, temos que iguala-la a zero, ó:

250 20 - t e - t 20 = 0

E isso só será zero se:

20 - t = 0

Uma vez que e - t 20 nunca será zero. Da expressão acima tiramos que:

t = 20

Então esse é nosso único ponto crítico! Tendo em vista esse resultado, agora vamos substituir esse valor que encontramos agora e o intervalo que nos foi dado na nossa função N , se liga:

N 20 = 5000 25 + 20 . e - 20 20 ≈ 161.788

N 0 = 5000 25 + 0 . e - 0 20 = 125.000

N 100 = 5000 25 + 100 . e - 100 20 ≈ 128.369

Comparando os resultados, temos que:

N 20 = 161.788 → M á x i m o   a b s o l u t o

N 0 = 125.000 → M í n i m o   a b s o l u t o

E estão aí o maior e menor número de bactérias no intervalo de tempo dado!

Passo 3

b) Então galera, para descobrirmos isso devemos utilizar o teste da derivada segunda, se liga:

d 2 N d t 2 = 12,5 t - 40 e - t 20

Igualando a zero, teremos:

12,5 t - 40 e - t 20 = 0

Como e - t 20 nunca será zero, então essa expressão só dará zero se:

t - 40 = 0

t = 40

Então é nesse momento em que o número de bactérias decresce mais rapidamente!

Resposta

a) N 20 = 161.788 → M á x i m o   a b s o l u t o

N 0 = 125.000 → M í n i m o   a b s o l u t o

b) t = 40

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Gere o gráfico de f x = 1 3 x 3 - 1 400 x no intervalo - 5 ,5 . Encontre a localização exata de todos os pontos críticos e classifique-os como máximos e mínimos relativos, ou nenhum dos dois.Confirme
Gere o gráfico de f x = 1 5 x 5 - 7 8 x 4 + 1 3 x 3 + 7 2 x 2 - 6 x No intervalo de [ - 5 ,5 ] e faça uma conjectura sobre a localização e a natureza de todos os pontos críticos.Encontr a localização
Um terreno retangular deve ser cercado de duas formas. Dois lados opostos devem receber uma cerca reforçada que custa $ 3 o metro enquanto os dois lados restantes recebem uma cerca padrão de $ 2 o met
Um retângulo deve ser inscrito em um triângulo retângulo com lados de comprimento 6, 8 e 10 cm. Encontre as dimensões do retângulo com a a maior área, supondo que ele está posicionado conforme a Figur
Um campo retangular está limitado por uma cerca em três de seus lados e por um córrego reto no quarto lado. Encontre as dimensões do campo com área máxima que pode ser cercado com 1000 m de cerca.