10. Calcule

c)

∫ t g 2 x d x

Passo 1

Oi, galerinha! Para gente resolver essa questão vamos precisar aplicar uma identidade trigonométrica até chegarmos a alguma integral trigonométrica conhecida!

O enunciado nos forneceu a seguinte integral,

I = ∫ t g 2 x d x

Como não sabemos diretamente o valor dessa integral, vamos dar uma mexida!

Passo 2

Lá da trigonometria temos:

t g 2 x = sec 2 ⁡ x - 1

Substituindo na nossa integral, as coisas ficam assim:

∫ t g 2 x d x = ∫ ( sec 2 ⁡ x - 1 ) d x

Separando em dois termos:

I = ∫ sec 2 ⁡ ( x ) d x - ∫ d x

Parece que só trocamos a t g 2 x por sec 2 ⁡ x e o nosso problema continua, né?

Mas acontece é que a integral de sec 2 ⁡ x é direta, pois

y = t g x → y ' = sec 2 ⁡ x

Logo,

∫ sec 2 ⁡ x d x = t g x + k

Passo 3

Agora vamos integrar

I = ∫ sec 2 ⁡ x d x - ∫ d x

I = t g x - x + C

Resposta

∫ t g 2 x d x = t g x - x + k

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