b) ∫ 2 x + 3 x ⋅ ( x - 2 ) d x  

Passo 1

Quando tivermos um polinômio fatorado no denominador, é interessante usar frações parciais!

I = ∫ 2 x + 3 x ⋅ ( x - 2 ) d x

O nome pode ser complicado, mas a ideia é simples! Vamos quebrar o denominador em duas partes:

2 x + 3 x ⋅ ( x - 2 ) = A x + B x - 2

Sacou?!

Passo 2

Agora vamos mexer com o lado direto:

A x + B x - 2 = A x ⋅ x - 2 x - 2 + B x - 2 ⋅ x x

Fazendo as distributivas:

A x - 2 A + B x x ⋅ ( x - 2 ) = A + B x - 2 A x ⋅ ( x - 2 )

Assim,

2 x + 3 x ⋅ ( x - 2 ) = A + B x - 2 A x ⋅ ( x - 2 )

Agora é só comparar os coeficientes:

  2 ⋅ x + 3 = A + B x - 2 A )

A + B = 2     ( i ) - 2 A = 3       ( i i )

De ( i i ) :

A = - 3 2

Substituindo em ( i i ) :

- 3 2 + B = 2 → B = 7 2

Logo,

B = 7 2   e   A = - 3 2

Passo 3

Agora vamos resolver a integral!

Nossa integral era assim:

I = ∫ 2 x + 3 x ⋅ ( x - 2 ) d x

E vai ficar assim:

I = ∫ - 3 2 x d x + ∫ 7 2 x - 2 d x =   - 3 2 ⋅ ∫ 1 x d x + 7 2 ⋅ ∫ 1 x - 2 d x  

Não esquece: ∫ 1 x d x = ln ⁡ x + c

I =   - 3 2 ⋅ ln ⁡ x + 7 2 ⋅ ln ⁡ x - 2 + c

Resposta

- 3 2 ⋅ ln ⁡ x + 7 2 ⋅ ln ⁡ x - 2 + c

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