Enunciado

Calcule

c) underset(x -> + oo)(lim) (e^(2 x))/(x^3)

Passo 1

Perceba que quando tentamos substituir x = + oo no limite, chegamos a uma indeterminação do tipo “ (oo)/(oo) ” :

underset(x -> + oo)(lim) (e^(2 x))/(x^3) -> (e^(oo))/(oo) -> (oo)/(oo)

Passo 2

Então, para resolver o limite, vamos aplicar a Regra de L’Hospital, quantas vezes for necessário, até não haver mais indeterminação:

underset(x -> + oo)(lim) (e^(2 x))/(x^3) = underset(x -> + oo)(lim) ((e^(2 x))^')/((x^3)^') = underset(x -> + oo)(lim) (2 e^(2 x))/(3 x^2)

= underset(x -> + oo)(lim) ((2 e^(2 x))^')/((3 x^2)^') = underset(x -> + oo)(lim) (4 e^(2 x))/(6 x)

= underset(x -> + oo)(lim) ((4 e^(2 x))^')/((6 x)^') = underset(x -> + oo)(lim) (8 e^(2 x))/(6) = + oo

Note que tivemos que aplicar L’Hospital três vezes para que a indeterminação desaparecesse.

Resposta

underset(x -> + oo)(lim) (e^(2 x))/(x^3) = + oo

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