10- Calcule.

d) ∫ sec ⁡ x   d x

Passo 1

Galerinha, para resolver esse exercício nós vamos ter que fazer uma substituição simples não muito trivial. Se liga na jogada:

Aqui nós vamos ter que começar multiplicando e dividindo a nossa função por um mesmo termo (porque assim a gente não altera ela). Mas qual termo ?

Esse aqui:

tan ⁡ x + sec ⁡ x

Então a nossa integral fica assim,

∫ sec ⁡ x   d x = ∫ sec ⁡ x sec ⁡ x + tan ⁡ x tan ⁡ x + sec ⁡ x   d x =

= ∫ sec 2 ⁡ x + sec ⁡ x tan ⁡ x tan ⁡ x + sec ⁡ x   d x

Nesse momento você pode estar se perguntando... Mas pra que isso?! E por que escolhemos tan ⁡ x + sec ⁡ x ?!

Olha só a sagacidade .... Você prestou atenção que:

d d x   ( tan ⁡ x + sec ⁡ x ) = sec 2 ⁡ x + t a n x sec ⁡ x

Esse não é exatamente o mesmo termo do nosso numerador ???? Então, agora a gente pode fazer uma substituição!

Passo 2

A integral que nós temos agora é,

∫ sec 2 ⁡ x + sec ⁡ x tan ⁡ x tan ⁡ x + sec ⁡ x   d x

Fazendo,

u = tan ⁡ x + sec ⁡ x

d u = ( sec 2 ⁡ x + sec ⁡ x tan ⁡ x   ) d x

Substituindo na nossa integral, temos:

∫ d u u

Lembre-se que:

∫ 1 x d x = l n x

Dessa forma,

∫ d u u = ln ⁡ u

Passo 3

Desfazendo a substituição, temos:

∫ sec ⁡ x   d x = ln ⁡ tan ⁡ x + sec ⁡ x + C

Feshow ?!

Até a próxima questão!

Resposta

ln ⁡ tan ⁡ x + sec ⁡ x + C

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