Calcule

i) ∫ ∫ ∫ B x ⋅ d x ⋅ d y ⋅ d z onde B é o conjunto x^2 + y^2 <= 4 , x >= 0 e x + y <= z <= x + y + 1 .

Passo 1

Nesse problema iremos reduzir o problema de uma integral tripla para uma dupla analisando os limites de integração para cada variável. Após reduzirmos para uma forma simplificada, vamos encontrar qual é o novo conjunto K , aplicando, caso necessário, uma transformação de variável.

Passo 2

Bom, vamos começar. Vemos que a integral dada pode ser reduzida. Conseguimos notar que z varia em um intervalo dado já. Assim, podemos escrever a integral tripla como

∫ ∫ ∫ B x ⋅ d x ⋅ d y ⋅ d z = ∫ ∫ K x ⋅ ∫ x + y x + y + 1 d z ⋅ d x ⋅ d y

Por sorte, podemos notar já que o resultado da integral em z será 1 (sempre é bom quando o resultado dá 1 ou 0 , né? Hehe...). Observando o domínio em K teremos que o conjunto será dado por x 2 + y 2 ≤ 4 , x ≥ 0 . Precisamos notar aqui que o fato de o enunciado dizer que x ≥ 0 é muito importante, pois isso quer dizer que não teremos valores negativos para x , assim a nossa circunferência será algo desse tipo.

Assim, se aplicarmos uma transformação para coordenadas polares, nossos intervalos de integração ficarão

x = ρ ⋅ cos ⁡ θ

y = ρ ⋅ sin ⁡ θ

3 ⋅ π 4 ≤ θ ≤ π 2

0 ≤ ρ ≤ 2

O jacobiano dá transformação será o dado pelas coordenadas polares, onde d x ⋅ d y = ρ ⋅ d ρ ⋅ d θ . Finalmente podemos resolver a integral, que será

∫ ∫ K x ⋅ d x ⋅ d y = ∫ 3 ⋅ π 4 π 2 ∫ 0 2 ρ ⋅ cos ⁡ θ ⋅ ρ ⋅ d ρ ⋅ d θ = ∫ 3 ⋅ π 4 π 2 cos ⁡ θ ⋅ d θ ⋅ ∫ ρ 2 ⋅ d ρ =

= sin ⁡ θ 3 ⋅ π 4 π 2 ⋅ 8 3 = 16 3

Resposta

∫ ∫ ∫ B x ⋅ d x ⋅ d y ⋅ d z = 16 3

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