10. Calcule

m)

∫ cos ⁡ x + sec ⁡ x cos ⁡ x d x

Passo 1

Queremos integrar o seguinte:

I = ∫ cos ⁡ x + sec ⁡ x cos ⁡ x d x

Separando em dois termos:

I = ∫ cos ⁡ x cos ⁡ x d x + ∫ sec ⁡ x cos ⁡ x d x

Como 1 cos ⁡ x = sec ⁡ x :

I = ∫ d x + ∫ sec ⁡ x × sec ⁡ x d x

Isto é,

I = ∫ d x + ∫ sec 2 ⁡ x d x

Passo 2

Da seção 12.1 desse capítulo, temos o seguinte:

a ) ∫ c   d x = c x + k

i ) ∫ sec 2 ⁡ x   d x = t g x + k

Passo 3

I = ∫ d x + ∫ sec 2 ⁡ x d x

Usando as relações do Passo 2:

I = ( x + k 1 ) + ( t g x + k 2 )

Por fim, basta juntarmos as constantes:

I = x + t g x + k

Resposta

∫ cos ⁡ x + sec ⁡ x cos ⁡ x d x = x + t g x + k

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