10. Calcule

t )   ∫ e x 1 + e 2 x d x

Passo 1

Primeiro, faremos uso da propriedade de potência a m n = a m . n . Assim,

∫ e x 1 + e 2 x d x =   ∫ e x 1 + e x 2 d x

Se derivarmos o termo dentro dos parênteses, teremos o mesmo valor do numerador. Logo, faremos

u = e x ⇒ d u = e x d x

Substituindo na integral

∫ e x 1 + e x 2 d x =   ∫ 1 1 + u 2 d u

Passo 2

Podemos perceber que essa integral é do tipo ∫ 1 1 + x 2 d x =   tan - 1 ⁡ x + k . Então,

∫ 1 1 + u 2 d u =   tan - 1 ⁡ u + k = tan - 1 ⁡ e x + k

Resposta

Logo,

∫ e x 1 + e 2 x d x =   tan - 1 ⁡ e x + k

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