Enunciado

No cálculo de uma integral dupla sobre uma região D , obtivemos uma soma de integrais iteradas como a que segue:

∬ D f x , y   d A = ∫ 0 1 ∫ 0 2 y f x , y   d x   d y + ∫ 1 3 ∫ 0 3 - y f x , y   d x   d y

Esboce a região D e expresse a integral dupla como uma integral iterada com ordem de integração contrária.

Passo 1

Para esboçar a região de integração, vamos olhar primeiro para a primeira integral: y vai de 0 a 1 , enquanto x vai do eixo y até a reta x = 2 y (reta vermelha). Já na segunda integral, temos que y varia no intervalo [ 1,3 ] , enquanto x vai do eixo y até a reta x = 3 - y (reta azul). Assim, o domínio de integração é:

Passo 2

Invertendo a ordem de integração, podemos dizer que x varia no intervalo [ 0,2 ] , enquanto y vai da reta y = x / 2 até a reta y = 3 - x :

∬ D f x , y   d A = ∫ 0 2 ∫ x / 2 3 - x f x , y   d y   d x

Resposta

∬ D f x , y   d A = ∫ 0 2 ∫ x / 2 3 - x f x , y   d y   d x

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Calcule a integral dupla, identificando-a antes com o volume de um sólido. ∬ R( 5 - x )d A, R = x , y0 ≤ x ≤ 5,0 ≤ y ≤ 3
Calcule a integral dupla. ∬ R6 x 2 y 3 - 5 y 4d A, R = x ,y0 ≤ x ≤ 3,0 ≤ y ≤ 1 }
Calcule a integral dupla. ∬ Rx 1 + x yd A, R = 0 ,1 × 0 ,1
Calcule a integral dupla. ∬ R1 + x 2 1 + y 2 d A, R = x ,y0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 1 }
Calcule a integral dupla. ∬ Rx y 2 x 2 + 1 d A, R = x ,y0 ≤ x ≤ 1,- 3 ≤ y ≤ 3 }