Enunciado

Calcule a integral dupla.

∬_R^() (x y^2)/(x^2 + 1) d A , R = {(x , y)| 0 <= x <= 1 , - 3 <= y <= 3 }

Passo 1

Galera, primeiro vamos escrever a integral dupla na forma seguinte:

int_(- 3)^3 int_0^1 (x y^2)/(x^2 + 1) d x d y

Nesse caso, podemos transformar a integral dupla num produto de integrais simples:

int_(- 3)^3 int_0^1 (x y^2)/(x^2 + 1) d x d y = (int_0^1 (x)/(x^2 + 1) d x) (int_(- 3)^3 y^2 d y)

Passo 2

Agora, basta resolver cada integral simples, olha só:

(int_0^1 (x)/(x^2 + 1) d x) (int_(- 3)^3 y^2 d y) = [(ln (x^2 + 1))/(2)]_0^1 [(y^3)/(3)]_(- 3)^3 = (1)/(2) (ln 2 - ln 1) (1)/(3) (3^3 - (- 3)^3) = (1)/(6) (ln 2 - 0) (27 + 27) = 9 ln 2

Resposta

9 ln 2

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