Enunciado

Calcule a integral dupla.

∬_R^() (x)/(1 + x y) d A , R = [0 , 1] xx [0 , 1]

Passo 1

Galera, primeiro vamos escrever a integral dupla na forma seguinte:

int_0^1 int_0^1 (x)/(1 + x y) d y d x

Quando a gente tem uma integral dupla, a gente sempre começa resolvendo de dentro pra fora, assim:

int_0^1 (int_0^1 (x)/(1 + x y) d y) d x

Aqui x é uma constant pra gente, então podemos interpretar essa integral como

int (c d y)/(1 + c y)

Pra fazer ela temos que fazer a seguinte substituição

u = 1 + c y -> d u = c d y

Assim ficando com

int (d u)/(u) = ln u = ln ( 1 + c y )

Aplicando isso pra nossa integral ficamos com:

int_0^1 (int_0^1 (x)/(1 + x y) d y) d x = int_0^1 ([ln (1 + x y)]_0^1) d x

int_0^1 (int_0^1 (x)/(1 + x y) d y) d x = int_0^1 (ln (1 + x) - ln 1) d x = int_0^1 ln ( 1 + x ) d x

Passo 2

Galera, só nos restou uma integral simples pra resolver, mas preste bastante atenção que teremos que usar integração por partes:

int_0^1 1 . [ln (1 + x)] d x = [x ln (1 + x)]_0^1 - int_0^1 x . (1)/(1 + x) d x

= 1 . ln (1 + 1) - 0 - int_0^1 (x + 1 - 1)/(1 + x) d x = ln 2 - int_0^1 1 - (1)/(1 + x) d x

= ln 2 - [x - ln (1 + x)]_0^1 = ln 2 - 1 + ln 2 + 0 - ln 1

= 2 ln 2 - 1

Tudo certo?

Resposta

2 ln 2 - 1

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral dupla. ∬ Dx y 2 - x 2 d A, D = x ,y0 ≤ y ≤ 1,0 ≤ x ≤ y }
Calcule a integral dupla.∬_D^() y^2 e^(x y) d A , D = {(x , y)| 0 = y = 4 , 0 = x = y }
Determine o volume do sólido dado.Abaixo do paraboloide z = 3 x 2 + y 2 e acima da região delimitada por y = x e x = y 2 - y
Calcule a integral dupla. ∬ Dx cos ⁡ y d A, Dél i m i t a d ap o ry = 0,y = x 2,x = 1 é
Determine o volume do sólido dado.Abaixo do paraboloide z = x 2 + y 2 e acima da região delimitada por y = x 2 e x = y 2