Enunciado

O cálculo de uma integral pode, às vezes, levar a repostas aparentemente diferentes (Exercícios 67 e 68). Explique por que isso ocorre e dê um exemplo. Como você poderia mostrar que duas respostas aparentemente diferentes são realmente iguais?

Passo 1

Isso ocorre porque existem várias substituições e várias formas possíveis a se fazer para resolver a integral. Dependendo da substituição, teremos resultados diferentes. Por exemplo:

∫ x + 1 2 d x

A gente pode expandir esse produto e calcular diretamente:

∫ x 2 + 2 x + 1   d x

= x 3 3 + x 2 + x + C

Passo 2

Ou a gente pode fazer a substituição:

u = x + 1

d u = d x

∫ u 2   d u

= u 3 3 + K

= x + 1 3 3 + K

Isso é o mesmo que:

= x 3 3 + x 2 + x + 1 3 + K

Passo 3

Veja que são resultados diferentes, porém, os termos diferentes são constantes...

C = 1 3 + K

Como C é uma constante arbitrária, isso pode acontecer sem problemas.

Outra forma de verificar se as respostas são iguais é definir o mesmo intervalo e calcular as duas. Se der o mesmo valor, as respostas são iguais😉

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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