Enunciado

37) Uma câmera de televisão está posicionada a 1200   m de uma base de lançamento de foguete. O ângulo de elevação da câmera deve variar a uma taxa que possa focalizar o foguete. O mecanismo de foco da câmera também deve levar em conta o aumento da distância entre a câmera e o foguete em subida. Vamos supor que o foguete suba verticalmente e com velocidade de 200   m / s quando já tiver subido 900   m .

(a) Quão rápido estará variando a distância da câmera ao foguete naquele momento?

(b) Se a câmera de televisão se mantiver sempre na direção do foguete, quão rápido estará variando o ângulo de elevação dela naquele mesmo momento?

Passo 1

Opa, bora lá! Imagina que a gente ta filmando o lançamento de um foguete! Posicionamos a câmara a 1200   m da base de lançamento de foguete e a medida que o foguete sobe vamos aumentando esse ângulo pra focar.

O enunciado diz que quando o foguete esta em uma altitude de y = 900   m a sua velocidade vertical é de 200 m/s. Sabendo disso temos que responder algumas coisas!

Item a: Quão rápido estará variando a distância da câmera ao foguete quando y = 900   m e a velocidade é 200 m/s.

Vamos chamar de x a distância entre a câmera e o foguete em metros, de y a altura do foguete em metros e de θ o ângulo de inclinação em radianos.

Podemos encarar essa situação como um triângulo retângulo da seguinte forma:

Logo, a relação entre x e y é:

x 2 = 1200 2 + y 2

Passo 2

Derivando em função do tempo t em segundos, temos:

2 x × x ' t = 2 y × y ' t

x ' t = y × y ' t x

x ' t = y × y ' t 1200 2 + y 2

Logo, quando o foguete já tiver subido y = 900   m a uma taxa de variação y ' t = 200   m / s , a taxa de variação da distância será dada por:

x ' t = 900 × 200 1200 2 + 900 2

x ' t = 120   m / s

Portanto, a distância da câmera ao foguete varia a uma velocidade de 120   m / s .

Passo 3

Item b: Se a câmera de televisão se mantiver sempre na direção do foguete, quão rápido estará variando o ângulo de elevação dela naquele mesmo momento?

A relação entre a altura de foguete e o ângulo descrito é dada pela relação trigonométrica:

t g θ = y 1200

Passo 4

Agora, vamos derivar para correlacionar as taxas de variação:

sec 2 ⁡ θ × θ ' t = y ' ( t ) 1200

θ ' t = y ' t × cos 2 ⁡ θ 1200

θ ' t = y ' t × 1200 x 2 1200

θ ' t = y ' t × 1200 x

θ ' t = y ' t × 1200 1200 2 + y 2

Logo, quando o foguete já tiver subido y = 900   m a uma taxa de variação y ' t = 200   m / s , a taxa de variação do ângulo é dada por:

θ ' t = 200 × 1200 1200 2 + 900 2

θ ' t = 8 75   r a d / s

Portanto, a taxa de variação do ângulo é 8 75   r a d / s .

Resposta

(a)A distância da câmera ao foguete varia a uma velocidade de 120   m / s .

(b)A taxa de variação do ângulo é 8 75   r a d / s .

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