Enunciado

Duas pessoas começam a andar a partir do mesmo ponto. Uma vai para o leste a 4 km/h e a outra, para o nordeste a 2 km/h. Quão rápido está variando a distância entre as pessoas após 15 minutos?

Passo 1

Vamos alocar esse problema no plano cartesiano de modo que as pessoas são como pontos A = ( x A , y A ) e B = ( x B , y B ) e que o sentindo norte corresponde ao positivo de y e o sentido leste corresponde ao sentido positivo de x . Então a trajetória descrita por elas em um tempo t em horas é:

A ) Anda a 4 km/h para o leste:

x A = 4 t

y A = 0

B ) Anda a 2 km/h para o nordeste:

x B = 2 cos ⁡ ( 45 ° ) t = t 2

y B = 2 sen ⁡ ( 45 ° t ) t = t 2

Logo, a distância entre A e B é dada por:

d A B = x B - x A 2 + y B - y A 2

d A B = t 2 - 4 t 2 + t 2 - 0 2

d A B = t 2 ( 2 - 4 2 + 2 t 2

d A B = t 20 - 8 2

Passo 2

Derivando em função do tempo t :

d ' A B t = 20 - 8 2 = 2,947251516

Logo, a distância entre as duas pessoas varia a uma taxa de aproximadamente 2,95 km/h.

Resposta

A distância entre as duas pessoas varia a uma taxa de aproximadamente 2,95 km/h.

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