Enunciado

Duas partículas A e B movem – se para direita numa reta horizontal e partem de um ponto O. Seja s cm a distância orientada do ponto O em t s. As equações de movimento são

s = 4 t 2 + 5 t (para a partícula A)

s = 7 t 2 + 3 t (para a partícula B)

Se t = 0 no começo, para que valores de t a velocidade da partícula A supera a velocidade de B?

Passo 1

As funções que são dadas no enunciado representam a posição em função do tempo de cada partícula. Derivando essas funções em função do tempo, conseguimos encontrar funções que definem a velocidade em cada instante de tempo.

Então para encontrar a parti de qual instante de tempo a velocidade de A supera a de B, basta derivar as funções e depois a avaliar seus valores em cada instante de tempo a parti de t = 0.

Para facilitar na hora de saber qual função é de qual partícula, vamos usar sA para função posição de A e sB para função posição de B.

Passo 2

Derivando as funções posições de A e B:

Partícula A:

s A ( t ) = 4 t 2 + 5 t

d s A ( t ) d t = v A ( t ) = 8 t + 5

Partícula B:

s B ( t ) = 7 t 2 + 3 t

d s B ( t ) d t = v B ( t ) = 14 t + 3

Passo 3

Agora vamos avaliar os valores das velocidades de A e B em pelo menos 4 instantes de tempo diferentes:

t = 0:

v A 0 = 8 0 + 5 v B 0 = 14 0 + 3

= 5   = 3

t = 1:

v A 1 = 8 1 + 5 v B 1 = 14 1 + 3

                    = 13 = 17

t = 2:

v A 2 = 8 2 + 5 v B 2 = 14 2 + 3

                    = 16 + 5 = 28 + 3

= 2 1   = 31

t = 3:

v A 3 = 8 3 + 5 v B 3 = 14 3 + 3

                    = 24 + 5 = 42 + 3

= 29   = 45

Podemos reparar pelos valores de velocidade em cada instante que vA só é maior que vB no instante t = 0, depois disso vB sempre é maior que vA.

Resposta

Somente para t = 0 que a velocidade de A é maior que a velocidade de B.

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