Enunciado

O lucro de um varejista é $ 100 ⋅ y quando são gastos diariamente $ x em propaganda e

y = 2500 + 36 x - 0,2 x 2

Use a derivada para determinar se seria lucrativo aumentar a verba de propaganda, considerando a verba diária de propaganda.

c) Qual seria o valor máximo de x abaixo do qual seria lucrativo aumentar a verba de propaganda?

Passo 1

A nossa função nos dá quanto de lucro o varejista tem dependendo de quanto gasta de propaganda.

O próprio enunciado já diz o que devemos fazer para achar a resposta, que é usar a derivada da função. Para achar esse máximo, basta descobrir qual valor faz a derivada ser nula.

Você pode estar se perguntando como sabemos que nesse caso, quando a derivada for igual a zero vai ser ponto de máximo e não mínimo, bem a função que o enunciado fornece é uma função de segundo grau.

Como o termo que acompanha a variável de expoente de grau 2 é negativo, então a concavidade do gráfico é virada para baixo. Logo quando um ponto fizer a derivada ser nula ele é ponto de máximo.

Passo 2

Vamos derivar a função y:

y ( t ) = 2500 + 36 x - 0,2 x 2

y ' x = 36 - 0,4 x

Passo 3

Agora vamos achar o valor de x que faz com que y’=0:

y ' x = 36 - 0,4 x

36 - 0,4 x = 0

⇒ 0,4 x = 36

                                                                                                                                                        ⇒ x = 36 0,4 = 9 0

Resposta

c) Logo o valor máximo é $90

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