Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3 - Capítulo 7.1 - Ex. 1c

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O campo vetorial dado é conservativo? Justifique.

c )   F → x , y , z = x - y i → + x + y + z j → + z 2 k →

Passo 1

Bom, pra um campo ser conservativo, precisamos ter uma função f tal que o gradiente de f seja igual a F → . Ou seja:

∇ f x , y = F → x , y

Então a gente pode fazer o seguinte:

∂ f ∂ x = x - y

∂ f ∂ y = x + y + z

∂ f ∂ z = z 2

Passo 2

Integrando cada caso encontramos:

f x , y , z = x 2 2 - x y + A ( y , z )

f x , y , z = x y + y 2 2 + y z + B ( x , z )

f x , y , z = z 3 3 + C ( x , y )

Bom, a gente precisa de uma função que se encaixe nesses quesitos aí. Veja só, a gente tem uns termos em uma que não se encaixam na outra. Por exemplo, y z não se encaixa em f x , y , z = z 3 3 + C ( x , y )

(teria que ser um termo com x   e   y só).

Ou seja, não tem uma função que encaixe nas três igualdades. Logo, o campo não é conservativo!

Resposta

Não.

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