Enunciado

Determine (a) o rotacional e (b) o divergente dos campos vetoriais.

F x , y = e x   s e n   y , e y   s e n z , e z   s e n   x

Passo 1

Bom, pessoal, na letra (a) queremos achar o rotacional do campo vetorial dado. Mas o que é rotacional?

Se F = P i + Q j + R k é um campo vetorial em R 3 e as derivadas parciais de P ,   Q   e   R existem, então o rotacional de F é o campo vetorial em R 3 dado por:

r o t   F = ∂ R ∂ y - ∂ Q ∂ z i + ∂ P ∂ z - ∂ R ∂ x j + ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y k

Assim, para essa questão vamos primeiro calcular as derivadas parciais!

∂ P ∂ y = ∂ ∂ y e x   s e n   y   = e x cos ⁡ y

∂ P ∂ z = ∂ ∂ z e x   s e n   y   = 0

∂ Q ∂ x = ∂ ∂ x e y   s e n   z = 0

∂ Q ∂ z = ∂ ∂ z e y   s e n   z = e y cos ⁡ z

∂ R ∂ y = ∂ ∂ y e z   s e n   x = 0

∂ R ∂ x = ∂ ∂ x e z   s e n   x = e z cos ⁡ x

Calculando o rotacional do campo vetorial:

r o t   F = 0 - e y cos ⁡ z i + 0 - e z cos ⁡ x j + 0 - e x cos ⁡ y k

Resposta

O rotacional é:

r o t   F = - e y cos ⁡ z i + - e z cos ⁡ x j + - e x cos ⁡ y k

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