O campo vetorial dado é conservativo? Justifique.

d) F(x, y, z) = x / (x^2 + y^2 + z^2)^2 i + y / (x^2 + y^2 + z^2)^2 j + z / (x^2 + y^2 + z^2)^2 k

Passo 1

Bom, pra um campo ser conservativo, precisamos ter uma função f tal que o gradiente de f seja igual a F → . Ou seja:

∇ f x , y = F → x , y

Então a gente pode fazer o seguinte:

∂ f ∂ x = x x 2 + y 2 + z 2 2

∂ f ∂ y = y x 2 + y 2 + z 2 2

∂ f ∂ z = z x 2 + y 2 + z 2 2

Passo 2

Integrando cada caso encontramos:

f x , y , z = - 1 2 x 2 + y 2 + z 2 + A ( y , z )

f x , y , z = - 1 2 x 2 + y 2 + z 2 + B ( x , z )

f x , y , z = - 1 2 x 2 + y 2 + z 2 + C ( x , y )

Bom, a gente precisa de uma função que se encaixe nesses quesitos aí. Veja só, a gente tem uns termos que se repete em todas as igualdades, então pra isso ser uma função potencial, a gente só precisa que os termos A ,   B   e   C sejam constantes. Ou seja, uma função que se encaixa é:

f x , y , z = - 1 2 x 2 + y 2 + z 2 + K

Como existe a tal função, o campo é conservativo!

Resposta

Sim.

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