O campo vetorial dado é conservativo? Justifique.

  1. F(x, y, z, w) = (x, y, z, w)

Passo 1

Bom, pra um campo ser conservativo, precisamos ter uma função f tal que o gradiente de f seja igual a F → . Ou seja:

∇ f x , y , z , w = F → x , y , z , w

Então a gente pode fazer o seguinte:

∂ f ∂ x = x

∂ f ∂ y = y

∂ f ∂ z = z

∂ f ∂ w = w

Passo 2

Daí, pra a gente achar a função f é só integrar cada termo:

f x , y , z , w = x 2 2 + A ( y , z , w )

f x , y , z , w = y 2 2 + B ( x , z , w )

f x , y , z , w = z 2 2 + C ( x , y , w )

f x , y , z , w = w 2 2 + D ( x , y , z )

Bom, a gente precisa de uma função que se encaixe nesses quesitos aí. Veja só, a gente não tem termo que se repete e cada termo se encaixa na outra função (por exemplo, qualquer um dos termos da segunda, terceira e quarta se encaixam no termo A ( y , z , w ) da primeira, e assim sucessivamente).

Com isso, temos a função:

f x , y , z , w = x 2 2 + y 2 2 + z 2 2 + w 2 2 + K

Então, como existe a função que procurávamos, concluímos que o campo é conservativo.

Resposta

Sim.

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