O campo vetorial dado é conservativo? Justifique.

b) F(x, y) = y i + x j

Passo 1

Bom, pra um campo ser conservativo, precisamos ter uma função f tal que o gradiente de f seja igual a F → . Ou seja:

∇ f x , y = F → x , y

Então a gente pode fazer o seguinte:

∂ f ∂ x = y

∂ f ∂ y = x

Passo 2

Integrando os dois casos encontramos:

f ( x , y ) = x y + A ( y )

f ( x , y ) = x y + B ( x )

Bom, a gente precisa de uma função que se encaixe nesses quesitos aí. Veja só, a gente tem um termo que se repete (que com certeza tá na nossa função) e esse A ( y ) e B ( x ) podem ser só constantes então.

(No geral, a gente soma os termos de uma que não tem na outra)...

Pras duas funções serem iguais, temos que:

f x , y = x y + C

Portanto, como existe a função procurada, o campo é conservativo.

Resposta

Sim.

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