Enunciado

O campo vetorial dado é conservativo? Justifique.

  1. vec F (x , y , z , w) = ( x , y , z , w )

Passo 1

Bom, pra um campo ser conservativo, precisamos ter uma função f tal que o gradiente de f seja igual a vec F . Ou seja:

grad f (x , y , z , w) = vec F (x , y , z , w)

Então a gente pode fazer o seguinte:

(del f)/(del x) = x

(del f)/(del y) = y

(del f)/(del z) = z

(del f)/(del w) = w

Passo 2

Daí, pra a gente achar a função f é só integrar cada termo:

f (x , y , z , w) = (x^2)/(2) + A ( y , z , w )

f (x , y , z , w) = (y^2)/(2) + B ( x , z , w )

f (x , y , z , w) = (z^2)/(2) + C ( x , y , w )

f (x , y , z , w) = (w^2)/(2) + D ( x , y , z )

Bom, a gente precisa de uma função que se encaixe nesses quesitos aí. Veja só, a gente não tem termo que se repete e cada termo se encaixa na outra função (por exemplo, qualquer um dos termos da segunda, terceira e quarta se encaixam no termo A ( y , z , w ) da primeira, e assim sucessivamente).

Com isso, temos a função:

f (x , y , z , w) = (x^2)/(2) + (y^2)/(2) + (z^2)/(2) + (w^2)/(2) + K

Então, como existe a função que procurávamos, concluímos que o campo é conservativo.

Resposta

Sim.

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