Enunciado

Um canhão, situado no solo, é posto sob um ângulo de inclinação α . Seja l o alcance do canhão, dado por l = 2 v 2 g s e n α cos ⁡ α , onde v e g são constantes. Para que ângulo o alcance é máximo?

Passo 1

Como ele já nos deu a expressão do alcance, basta maximizarmos! Para isso, vamos derivar e igualar a zero para encontrar os pontos críticos. Vem comigo!

l α = 2 v 2 g s e n α cos ⁡ α

Usando a regra do produto:

l ' α = 2 v 2 g cos ⁡ α × cos ⁡ α + s e n α × - s e n α

Assim,

l ' α = 2 v 2 g cos 2 ⁡ α - s e n 2 α

Passo 2

Agora vamos igualar a zero para achar os pontos críticos.

2 v 2 g cos 2 ⁡ α - s e n 2 α = 0

Portanto,

cos 2 ⁡ α - s e n 2 α = 0     i

Lá da trigonometria, sabemos o seguinte:

s e n 2 α + cos 2 ⁡ α = 1

Assim,

s e n 2 α = 1 - cos 2 ⁡ α

Substituindo em ( i ) :

cos 2 ⁡ α - 1 - cos 2 ⁡ α = 0  

Isto é,

cos 2 ⁡ α = 1 2

Como estamos pegando apenas ângulos entre 0 ≤ α ≤ π / 2 , pois estamos fazendo um lançamento, o cosseno é positivo.

cos ⁡ α = 2 2 → α = π 4

Isso quer dizer que o ângulo que gera o alcance máximo é π / 4 .

Resposta

α = π 4

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