Enunciado

Traçar uma tangente à elipse 2 x 2 + y 2 = 2 de modo que a área do triângulo que ela forma com os eixos coordenados positivos seja mínima. Obter as coordenadas do ponto de tangencia e a área mínima.

Passo 1

Para encontrarmos uma reta tangente a essa curva, podemos pegar um ponto da elipse e a derivada nesse ponto para encontrar o coeficiente angular.

2 x 2 + y 2 = 2

Derivando em relação a x :

2 x + 2 y y ' = 0

Logo,

y ' = - y x

Considerando o ponto m , n , o coeficiente angular fica o seguinte:

y ' = - n m

Então nossa reta será:

y - n =   - n m x - m       i

Passo 2

Como o ponto m , n pertence a elipse:

2 m 2 + n 2 = 2       i i

Agora que já temos uma relação entre m e n , vamos partir para achar a área do triângulo formado pela reta e os eixos coordenados.

y - n =   - n m x - m

Quando x = 0 :

y = 2 n

Quando y = 0 :

x = 2 m

Logo, nossa área fica o seguinte:

A = 2 m × 2 n

Assim,

A = 4 m n

Isolando o n na equação i i :

n = 2 - 2 m 2

Substituindo na expressão da área:

A = 4 m 2 - 2 m 2

Passo 3

Agora que já temos uma expressão para a área, vamos derivar e igualar a zero para encontrar os pontos críticos.

A m = 4 m 2 - 2 m 2

Usando a regra do produto:

A ' m = 4 2 - 2 m 2 + 4 m × 1 2 × 1 2 - 2 m 2 × 2 - 2 m 2 '

Assim,

A ' m = 4 2 - 2 m 2 - 8 m 2 2 - 2 m 2

Igualando a zero:

4 2 - 2 m 2 - 8 m 2 2 - 2 m 2 = 0

Logo,

2 - 2 m 2 × 2 - 2 m 2 = 2 m 2

2 - 2 m 2 = 2 m 2

Arrumando as coisas:

m 2 = 1 2 → m = 2 2

Para acharmos n , podemos voltar na equação ( i i ) . Assim,

2 × 1 2 + n 2 = 2

Logo,

n = 1

Pra finalizar, basta acharmos a área:

A = 4 m n

Portanto,

A = 4 × 2 2 × 1 → A = 2 2

Resposta

As coordenadas do ponto será:

2 2 ,   1

Área:

A = 2 2

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