Enunciado

Um carro é freado com uma desaceleração constante de 16 pés/s², produzindo marcas de derrapagem medindo 200 pés antes de parar completamente. Quão rápido estava o carro viajando quando o freio foi acionado pela primeira vez?

Passo 1

Temos uma aceleração constante durante a frenagem do carro. Se o sentido de movimento do carro for positivo, então a função da aceleração (negativa) é dada, em pés/s²:

a t = - 16

Como a aceleração é a segunda derivada da posição s ( t ) , podemos aplicar a antiderivada duas vezes para encontrar a função da posição, primeiro achando a velocidade e depois a própria função s ( t ) . Então aplicamos as condições dadas pelo enunciado para encontrar a velocidade inicial. Sendo a posição inicial zero ( s 0 = 0 ) , temos pelo enunciado que a posição final é s t f i n a l = 200 , sendo t f i n a l o tempo de frenagem. Além disso, a velocidade final é zero: v t f i n a l = 0 . Nosso trabalho é então encontrar a velocidade inicial v 0 = v 0 .

Passo 2

Encontramos então primeiramente a antiderivada da aceleração para encontrar a função da velocidade. Temos:

s ' ' t = a t = - 16

⇒ s ' t = v t = - 16 t + C

Como v 0 = v 0 :

v 0 = v 0 ⇒ C = v 0

⇒ s ' t = v t = - 16 t + v 0

Como v t f i n a l = 0 :

v t f i n a l = 0 ⇒ - 16 t f i n a l + v 0 = 0

⇒ t f i n a l = v 0 16

Passo 3

Com a função da velocidade, agora achamos a função da posição através de sua antiderivada:

v t = s ' t = - 16 t + v 0

⇒ s t = - 16 t 2 2 + v 0 t + D = - 8 t 2 + v 0 t + D

Aplicando a condição inicial s 0 = 0 , encontramos a constante D :

s 0 = 0 ⇒ D = 0

⇒ s t = - 8 t 2 + v 0 t

Finalmente, aplicamos a condição final da posição, s t f i n a l = 200 :

s t f i n a l = - 8 t f i n a l 2 + v 0 t f i n a l = 200

Mas já calculamos que t f i n a l = v 0 / 16 , então:

- 8 v 0 16 2 + v 0 v 0 16 = 200

⇒ - v 0 2 32 + v 0 2 16 = 200

⇒ - v 0 2 + 2 v 0 2 32 = 200

⇒ v 0 2 = 6400

Então, fazendo a raiz quadrada encontramos v 0 :

v 0 = 80   p é s / s

Resposta

v 0 = 80   p é s / s

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