Enunciado

Um cartão retangular deve conter 42 centímetros quadrados de área impressa. As margens no topo, na base e de um dos lados do cartão devem medir 1   c m e a margem do outro lado deve medir 2   c m . Quais devem ser as dimensões de um cartão desses que tenha a menor área?

Passo 1

Vamos refletir, a gente tem um cartão com margens. Sabemos que área dentro dessas margens tem que ser 42   c m 2 . Mas queremos descobrir as dimensões totais que minimizam a área.

Vamos desenhar:

Para descobrir esses valores a e b , a gente precisa encontrar uma função que descreve essa área e descobrir o menor valor dela.

Vamos tentar fazer isso!

Passo 2

Vamos chamar cada lado do retângulo menor, a área impressa, de um nome. Um de x e outro de y :

Fazendo isso, a gente pode escrever uma expressão para a área impressa:

A i m p r e s s a = x y

Mas a gente sabe quanto ela tem que valer:

A = x y = 42 ∴ y = 42 x

Passo 3

A gente também pode escrever uma expressão para a e b , olhando nossa figura:

a = 1 + y + 1 = 2 + y

Já que y = 42 / x :

a = 2 + 42 x

Agora olhando para b :

b = 1 + x + 2 = x + 3

Com isso, a gente pode escrever aquela tão sonhada expressão para a área total do cartão:

A T = a b = 2 + 42 x x + 3 = 2 x + 126 x + 48

Passo 4

Com a expressão da área, podemos tentar descobrir o valor mínimo dela. Vamos verificar os valores de x onde A T ' x = 0 .

Vamos derivar essa função da área e igualar a zero:

A T ' ( x ) = 2 - 126 x 2

Fazendo o MMC:

A ' x = 2 x 2 - 126 x 2 = 2 x 2 - 63 x 2

Igualando a zero:

x 2 - 63 = 0 ∴ x = ± 63

Mas como x é uma dimensão do retângulo menor, ele só pode ser um valor positivo. Então:

x = 63 = 3 7

Já que só temos esse canditado, podemos dizer que a área vai ser mínima nele.

Passo 5

Para descobrir as dimensões é substituir o x em a e b :

a = 2 + 42 x = 2 + 42 3 7 = 2 + 2 7   c m

b = x + 3 = 3 7 + 3   c m

Ih, olha lá! Arrasamos!

Resposta

a = 2 + 2 7   c m

b = 3 7 + 3   c m

Exercícios de Livros Relacionados

O semicírculo com diâmetro P Q está sobre um triangulo isósceles P Q R para formar uma região com um formato de sorvete, conforme mostra a figura. Se A ( θ ) for a área do semicírc...
46. Determine as forças no elemento G C da treliça e indique que se ele está sob tração ou compressão.
Calcule o centroide da área a seguir em termos das variáveis dos raios:
Considere o trilho de uma estrada de ferro reta e horizontal com um vagão ferroviário de 50000kg se deslocando ao longo da linha férrea a uma velocidade constante de 15m/s. Determi...
Uma correia feita de material isolante, com 50   c m de largura, se move a uma velocidade de 30   m / s . A carga que a correia transporta até um aparelho de laboratório correspond...
Se A for uma matriz m × n e se o sistema linear A x = b for consistente com qualquer vetor b em R m , o que pode ser dito sobre a imagem de T A : R n → R m ?
(Requer cálculo) Seja V o espaço vetorial das funções reais com derivadas continuas de todas as ordens no intervalo   - ∞ ,   ∞ e W = F ( - ∞ ,   ∞ ) o espaço vetorial de todas as ...
Calcule a integral. ∫ z 3 e z   d z
Seja E uma matriz elementar 2 × 2 fixada. Decida se a fórmula T A = E A define um operador linear injetor de M 2 × 2 . Explique seu raciocínio.
Seja a um vetor em R 3 fixado. Decida se a fórmula T v = a × v define um operador linear injetor de R 3 . Explique seu raciocínio.
Em cada parte, determine se a multiplicação por A é uma transformação linear injetora. A = 1 - 2 2 - 4 - 3 6 A = 1 3 5 7 2 - 1 2 4 - 1 3 0 0 A = 4 - 2 1 5 5 3
Escreva cada combinação de vetores como um único vetor. P Q → + Q R → R P → + P S → Q S → - P S → R S → + S P → + P Q →