Enunciado

Um cartão retangular deve conter 42 centímetros quadrados de área impressa. As margens no topo, na base e de um dos lados do cartão devem medir 1   c m e a margem do outro lado deve medir 2   c m . Quais devem ser as dimensões de um cartão desses que tenha a menor área?

Passo 1

Vamos refletir, a gente tem um cartão com margens. Sabemos que área dentro dessas margens tem que ser 42   c m 2 . Mas queremos descobrir as dimensões totais que minimizam a área.

Vamos desenhar:

Para descobrir esses valores a e b , a gente precisa encontrar uma função que descreve essa área e descobrir o menor valor dela.

Vamos tentar fazer isso!

Passo 2

Vamos chamar cada lado do retângulo menor, a área impressa, de um nome. Um de x e outro de y :

Fazendo isso, a gente pode escrever uma expressão para a área impressa:

A i m p r e s s a = x y

Mas a gente sabe quanto ela tem que valer:

A = x y = 42 ∴ y = 42 x

Passo 3

A gente também pode escrever uma expressão para a e b , olhando nossa figura:

a = 1 + y + 1 = 2 + y

Já que y = 42 / x :

a = 2 + 42 x

Agora olhando para b :

b = 1 + x + 2 = x + 3

Com isso, a gente pode escrever aquela tão sonhada expressão para a área total do cartão:

A T = a b = 2 + 42 x x + 3 = 2 x + 126 x + 48

Passo 4

Com a expressão da área, podemos tentar descobrir o valor mínimo dela. Vamos verificar os valores de x onde A T ' x = 0 .

Vamos derivar essa função da área e igualar a zero:

A T ' ( x ) = 2 - 126 x 2

Fazendo o MMC:

A ' x = 2 x 2 - 126 x 2 = 2 x 2 - 63 x 2

Igualando a zero:

x 2 - 63 = 0 ∴ x = ± 63

Mas como x é uma dimensão do retângulo menor, ele só pode ser um valor positivo. Então:

x = 63 = 3 7

Já que só temos esse canditado, podemos dizer que a área vai ser mínima nele.

Passo 5

Para descobrir as dimensões é substituir o x em a e b :

a = 2 + 42 x = 2 + 42 3 7 = 2 + 2 7   c m

b = x + 3 = 3 7 + 3   c m

Ih, olha lá! Arrasamos!

Resposta

a = 2 + 2 7   c m

b = 3 7 + 3   c m

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