Enunciado

Um retângulo R no plano tem vértices em ( ± 8 ,   ± 12 ) , e um quadrado S no plano tem seus lados paralelos aos eixos coordenados, mede 100 por 100 e tem seu canto inferior esquerdo na reta y   =   - 3 x . Qual é a maior área possível de uma região no plano que esteja contida em ambos, R e S ?

Passo 1

Vamos refletir, a gente tem um retângulo. E no mesmo plano tem um quadrado muito maior que esse retângulo, que tem o vértice na reta y = - 3 x . Olha como fica num desenho:

A interseção entre essas figuras é esse retângulo mais clarinho. O que a gente precisa fazer é descobrir a maior área que esse retângulo pode ter.

Para descobrir isso, a gente precisa encontrar uma função que descreve essa área e descobrir o maior valor dela.

Vamos tentar fazer isso!

Passo 2

A gente sabe que o quadrado tem o vértice na reta y = - 3 x . Então a gente pode dizer que o vértice dele está no ponto:

P = ( x , - 3 x )

Mas repara que esse ponto só pode estar dentro do retângulo. Isso significa que esse x não vai ser todos os reais, mas só os valores de x para quais a reta está dentro desse retângulo.

Pela localização do nosso retângulo, vemos que y = - 3 x está entre as retas:

y = 12 ,     y = - 12

Substituindo esses valores de y em y = - 3 x , e isolando x , achamos:

x = 4 ,     x = - 4

Por isso, podemos dizer que nosso x está entre esses valores. Reescrevendo nosso vértice:

P = x , - 3 x ,     x ∈ [ - 4,4 ]

Passo 3

Vamos olhar uma figura nova:

Queremos a área do retângulo menor, que podemos escrever como:

A = a b

Mas quem é a e b ?

Olhando para figura, vemos que a é um valor que está entre x = 8 e a coordenada x do ponto P , que vale x . Podemos dizer então:

a = 8 - x

Dá para fazer a mesma coisa com b . É um valor que está entre y = 12 e a coordenada y do ponto P , que vale - 3 x . E aí:

b = 12 - - 3 x = 12 + 3 x

Reescrevendo a área:

A = 8 - x 12 + 3 x = - 3 x 2 + 12 x + 96

Passo 4

Com a expressão da área, podemos tentar descobrir o valor máximo dela. Como ela é um polinômio, o valor máximo vai acontecer nos extremos ou valores de x onde A ' ( x ) = 0 . Esses serão nossos candidatos!

Vamos derivar essa função da área e igualar a zero:

A x = - 3 x 2 + 12 x + 96

A ' x = - 6 x + 12

Igualando a zero:

- 6 x + 12 = 0 ∴ x = 2

Passo 5

Nossos candidatos são:

x = - 4 ,     x = 2 ,     x = 4

Agora a gente sustitui eles na função da área para saber qual resulta no maior valor de A ( x ) :

A - 4 = - 3 ⋅ - 4 2 + 12 ⋅ - 4 + 96 = 0

A 2 = - 3 ⋅ 2 2 + 12 ⋅ 2 + 96 = 108

A 4 = - 3 ⋅ - 4 2 + 12 ⋅ 4 + 96 = 96

O que resultou no maior valor foi x = 2 , e a gente descobriu que a área máxima da região que o enunciado pediu é:

A x = 108

Resposta

A x = 108

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Em cada parte, encontre todos os pontos críticos e use o teste da derivada primera para classifica-los em máximos ou mínimos relativos, ou nenhum dos dois.(b) f x = 2 s e n x - cos ⁡ 2 x , 0 ≤ x ≤ 2 π
Em cada parte, encontre todos os pontos críticos e uso e teste da derivada segunda (quando possível) para classifica-los em máximos ou mínimos relativos, ou em nenhum dos dois. f x = x 2 + 8 x
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