Enunciado

Em casa um dos problemas de 19 a 22, mostre que a equação dada não é exata, mas torna-se exata multiplicando pelo fator integrante dado. Depois resolva a equação.

x 2 y 3 + x 1 + y 2 y ' = 0 ,       μ x , y = 1 / x y 3

Passo 1

Primeira coisa que precisamos fazer é buscar uma forma de separar nossas variáveis. Basicamente chegamos em uma disciplina que requer que forcemos nosso lado matemático.

Suponha uma equação dada da seguinte forma

P x , y d x + Q x , y d y = 0

Dizemos que ela é exata, se e somente se

d d y P x , y - d d x Q x , y = 0

Além disso, dizemos que ela possuir uma função pontencial Y ( x , y )

Passo 2

Por sorte temos um problema fácil de resolver...”fácil”.

Vamos reescrever nosso problema como

x 1 + y 2 d y = - x 2 y 3 d x

Assim usando a ideia de variáveis separáveis

x 2 y 3 d x + x + x y 2 d y = 0

Assim temos que

d d y x 2 y 3 - d d x x + x y 2

= 3 x 2 y 2 - 1 + y 2 ≠ 0

E a forma de transformá-la em exata é utilizando o fator integrante dado da seguinte forma.

μ x , y x 2 y 3 d x + μ x , y x + x y 2 d y = 0

Assim temos

x 2 y 3 x y 3 d x + x + x y 2 x y 3 d y = x d x + 1 y 3 + 1 y d y = 0

Agora queremverificar se nossa equação é exata

d d y x - d d x 1 y 3 + 1 y = 0

Assim ela sendo exata, podemos na busca da nossa solução

Passo 3

Agora queremos achar quem é nossa função potencial

Imagine que tenhamos uma função Y ( x , y ) , que quando derivamos em cada direção teremos

d d x Y x , y = x

E

d d y Y x , y = 1 y 3 + 1 y

Assim vamos fazer o seguinte. Tome a integral da primeira equação

∫ d d x Y x , y d x = ∫ x d x

A integral da esquerda usaremos o teorema fundamental do calculo, nosso amiguinho.

A integral da direita é tranquila, certo?

Y x , y = x 2 / 2 + C y

Se derivarmos, deveríamos obter 1 y 3 + 1 y , ou seja

d d y Y x , y = d d y x 2 2 + C y

= C ' y = 1 y 3 + 1 y

E a pergunta é, quanto vale C ( y ) ? Basta integrar, não? Assim teremos

C y = - 1 2 y 2 + ln ⁡ y + C

O que nos leva a conclusão que nossa função potencial é

Y x , y = x 2 2 - 1 2 y 2 + ln ⁡ y + C

Resposta

x 2 2 - 1 2 y 2 + ln ⁡ y + C

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