Enunciado

Em cada um dos problemas 13 e 14, resolva o problema de valor inicial dado e determine, pelo menos aproximadamente, onde a solução é válida

9 x 2 + y - 1 - 4 y - x y ' = 0 ,     y 1 = 0

Passo 1

Primeira coisa que precisamos fazer é buscar uma forma de separar nossas variáveis. Basicamente chegamos em uma disciplina que requer que forcemos nosso lado matemático.

Suponha uma equação dada da seguinte forma

P x , y d x + Q x , y d y = 0

Dizemos que ela é exata, se e somente se

d d y P x , y - d d x Q x , y = 0

Além disso, dizemos que ela possuir uma função pontencial Y ( x , y )

Caso nossa equação seja exata, então vamos adotar uma estratégia definida no decorrer de nosso exercício e bem explicada...

Passo 2

Por sorte temos um problema fácil de resolver...”fácil”.

Vamos reescrever nosso problema como

- 4 y - x d y = - 9 x 2 + y - 1 d x

Assim usando a ideia de variáveis separáveis

9 x 2 + y - 1 d x + x - 4 y d y = 0

Assim temos que

d d y 9 x 2 + y - 1 - d d x x - 4 y

= 1 - ( 1 ) = 0

Mostrando que nossa equação é exata, logo vamos na busca da solução, conhecida como função potencial.

Passo 3

Agora queremos achar quem é nossa função potencial

Imagine que tenhamos uma função Y ( x , y ) , que quando derivamos em cada direção teremos

d d x Y x , y = 9 x 2 + y - 1

E

d d y Y x , y = x - 4 y

Assim vamos fazer o seguinte. Tome a integral da primeira equação

∫ d d x Y x , y d x = ∫ 9 x 2 + y - 1 d x

A integral da esquerda usaremos o teorema fundamental do calculo, nosso amiguinho.

A integral da direita é tranquila, certo?

Y x , y = 3 x 3 + x y - x + C y

Se derivarmos, deveríamos obter x - 4 y , ou seja

d d y Y x , y = d d y 3 x 3 + x y - x + C y

= x + C ' y = x - 4 y

Assim temos

C ' t = - 4 y

E a pergunta é, quanto vale C ( y ) ? Basta integrar, não? Assim teremos

C y = - 2 y 2 + C

O que nos leva a conclusão que nossa função potencial é

Y x , y = 3 x 3 + x y - x - 2 y 2 + C

Passo 4

Agora vamos buscar algo mais aprofundado. Já que se trata de um problema de valor inicial, vamos definir quanto valo nossa constante

Já definimos que a equação solução da nossa equação diferencial é

3 x 3 + x y - x - 2 y 2 = C

Tomando y 1 = 0

Implica que

3 1 3 - 1 0 - 1 - 2 0 2 = C → C = 2

Assim agora é importante...acompanhe o raciocínio haha

Fazemos

3 x 3 + x y - x - 2 y 2 = 2

Os 3 primeiros termos nos dão um quadrado perfeito, ou seja

3 x 3 + x y - x - 2 y 2 = 3 x 3 - x - - x y + 2 y 2 = 2

= 3 x 3 - x + x 2 8 - 2 x 4 - y 2 = 2

Assim teremos que

2 y - x 4 = 3 x 3 + x 2 8 - x + 2

y = x 4 - 1 4 24 x 3 + x 2 - 8 x + 16

Resposta

y = x 4 - 1 4 24 x 3 + x 2 - 8 x + 16

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