Enunciado

Determine se cada uma das equações nos problemas de 1 a 12 é exata. Se for, encontre a solução

d y d x = - a x + b y b x + c y

Passo 1

Primeira coisa que precisamos fazer é buscar uma forma de separar nossas variáveis. Basicamente chegamos em uma disciplina que requer que forcemos nosso lado matemático.

Suponha uma equação dada da seguinte forma

P x , y d x + Q x , y d y = 0

Dizemos que ela é exata, se e somente se

d d y P x , y - d d x Q x , y = 0

Além disso, dizemos que ela possuir uma função pontencial Y ( x , y )

Caso nossa equação seja exata, então vamos adotar uma estratégia definida no decorrer de nosso exercício e bem explicada...

Passo 2

Por sorte temos um problema fácil de resolver...”fácil”.

Vamos reescrever nosso problema como

b x + c y d y = - ( a x + b y ) d x

Assim usando a ideia de variáveis separáveis

a x + b y d x + b x + c y d y = 0

Assim temos que

d d y a x + b y - d d x b x + c y = b - b = 0

E nossa solução é exata

Passo 3

Agora queremos achar quem é nossa função potencial

Imagine que tenhamos uma função Y ( x , y ) , que quando derivamos em cada direção teremos

d d x Y x , y = ( a x + b y )

E

d d y Y x , y = ( b x + c y )

Assim vamos fazer o seguinte. Tome a integral da primeira equação

∫ d d x Y x , y d x = ∫ a x + b y d x

A integral da esquerda usaremos o teorema fundamental do calculo, nosso amiguinho.

A integral da direita é tranquila, certo? Assim

Y x , y = a x 2 2 + b x y + C ( y )

Se derivarmos, deveríamos obter ( b x + c y ) , ou seja

d d y Y x , y = d d y a x 2 2 + b x y + C ( y ) = b x + C ' y = ( b x + c y )

Com

C ' y = c y

E a pergunta é, quanto vale C ( y ) ? Basta integrar, não? Assim teremos

C y = c y 2 2 + C

O que nos leva a conclusão que nossa função potencial é

Y x , y = a x 2 2 + b x y + c y 2 2 + C

Resposta

Y x , y = a x 2 2 + b x y + c y 2 2 + C

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