Enunciado

(a) Um caso particular da equação de Liénard do Problema 8 é

d 2 u d t 2 + d u d t + g u = 0

em que g satisfaz as condições do Problema 6. Fazendo x = u, y = du/dt, mostre que a origem é um ponto crítico do sistema resultante. Essa equação pode ser interpretada como descrevendo o movimento de um sistema mola-massa com amortecimento proporcional à velocidade e uma

força restauradora não linear. Usando a função de Liapunov do Problema 6, mostre que a origem é um ponto crítico estável, mas note que, mesmo com amortecimento, não podemos concluir a estabilidade assintótica com essa função de Liapunov.

(b) A estabilidade assintótica do ponto crítico (0, 0) pode ser estabelecida construindo uma função de Liapunov melhor, como foi feito no item (d) do Problema 7. No entanto, a análise para uma função g geral é um pouco mais sofisticada, e vamos mencionar, apenas, que uma forma apropriada para V é

V x , y = 1 2 y 2 + A y g x + ∫ 0 x g s d s

em que A é uma constante positiva a ser escolhida de modo que V seja positiva definida e que V ˙ seja negativa definida. Para o problema do pêndulo com g(x) = sen x, use V como na equação precedente com A = 1/2 para mostrar que a origem é assintoticamente estável.

Sugestão: Use sen x = x − α x³/3! e cos x = 1 – βx³/2!, em que α e β dependem de x, mas 0 V ˙ (r cos θ, r sen θ) = −(1/2)r²[1 + (1/2) sen 2θ + h(r, θ)], em que |h(r, θ)|

Passo 1

Tá legal! Vamos começar a letra (a) com a função g . Como g satisfaz as condições do Problema 6, então, teremos:

d x d t = y

d y d t = - g x - y

Como temos que g 0 = 0 , então, a origem será um ponto crítico do sistema. Agora analisando a função V , temos:

V x , y = 1 2 y 2 + ∫ 0 x g s d s

Então, para o ponto (0,0), teremos:

V 0,0 = 0

Dessa forma, como g ( u ) é uma função ímpar na vizinhança de u = 0 , teremos:

∫ 0 x g s d s > 0 ,     x > 0

E, também:

∫ 0 x g s d s = - ∫ x 0 g s d s > 0 ,     x < 0

Dessa forma V será definida positiva.

Passo 2

Agora, podemos escrever a taxa de variação de V como:

V ˙ = V x . d x d t + V y . d y d t

No nosso caso, substituindo os valores conhecidos, chegamos em:

V ˙ = g x y + y [ - g x - y ) ] = y g ( x ) - y g ( x ) - y ²

V ˙ = - y 2

Com isso, temos que V ˙ ( x , y ) é semi-definida negativa. Então a origem será um ponto crítico estável.

Passo 3

Agora, vamos iniciar a letra (b) analisando a equação fornecida para V :

V x , y = 1 2 y 2 + A y g x + ∫ 0 x g s d s

E, vamos substituir os valores conhecidos, chegando em:

V x , y = 1 2 y 2 + 1 2 y s e n x + ∫ 0 x s e n s d s

E, podemos ver que V 0,0 = 0 . Agora, podemos escrever a taxa de variação de V como:

V ˙ = V x . d x d t + V y . d y d t

No nosso caso, substituindo os valores conhecidos, chegamos em:

V ˙ x , y = s e n   x + y 2 . cos ⁡ x y + y + 1 2 s e n   x - s e n   x - y

V ˙ x , y = y s e n   x + y 2 2 . cos ⁡ x - y s e n   x - y 2 - 1 2 s e n 2 x - y 2 . s e n   x

V ˙ x , y = 1 2 y 2 cos ⁡ x - 1 2 s e n 2 x - y 2 s e n   x - y 2

Passo 4

Agora, para o intervalo de - π / 2 < x < π / 2 , e tendo s e n   x = x - α x 3 / 6 e cos ⁡ x = 1 - β x 2 / 2 , onde α e β dependem de x . Tendo também que α > 0 e β < 1 . Então, substituindo esses valores na equação do passo 3:

V ˙ x , y = y 2 2 1 - β x 2 2 - 1 2 x - α x 3 6 2 - y 2 x - α x 3 6 - y 2

Agora, vamos passar para coordenadas polares, fazendo x = r c o s θ e y = r s e n θ , chegamos em:

V ˙ r , θ = r 2 s e n 2 θ 2 1 - β r 2 cos 2 ⁡ θ 2 - 1 2 r c o s θ - α r 3 cos 3 ⁡ θ 6 2 - r s e n θ 2 r c o s θ - α r 3 cos 3 ⁡ θ 6 - r 2 s e n 2 θ

E, simplificando essa expressão, chegamos em:

V ˙ r , θ = - r 2 2 1 + 1 2 s e n 2 θ + h r , θ

Onde teremos:

h r , θ ≤ 1 2 r 2 + 1 72 r 4

Então, tendo r pequeno, teremos h ( r , θ ) ≤ 1 / 2 . E então, teremos:

1 2 s e n 2 θ + h ( r , θ ) < 1

Então, com isso V ˙ ( x , y ) é definida negativa.

Passo 5

Agora precisamos mostrar que V ( x , y ) é definida positiva. Então, tendo g u = s e n   u , temos:

V x , y = 1 2 y 2 + 1 2 y s e n x + 1 - cos ⁡ x

Então, fazendo:

cos ⁡ x = 1 - x 2 2 + γ x 4 24

E, tendo 0 < γ < 1 para - π / 2 < x < π / 2 . Substituindo a expressão para cos ⁡ x :

V x , y = 1 2 y 2 + 1 2 y s e n x + 1 - 1 + x 2 2 - γ x 4 24

E, passando para coordenadas polares, temos:

V r , θ = 1 2 r 2 s e n 2 θ + 1 2 r s e n θ s e n r c o s θ + r 2 cos 2 ⁡ θ 2 - γ r 4 cos 4 ⁡ θ 24

Simplificando a expressão, chegamos em:

V r , θ = r 2 2 1 + 1 2 s e n 2 θ - r 2 12 s e n θ cos 3 ⁡ θ - γ r 2 24 . cos 4 ⁡ θ

E, para r < 1 , temos:

- r 2 12 s e n θ cos 3 ⁡ θ - γ 2 24 cos 4 ⁡ θ > - 1 8

Então, com isso, temos que V r , θ > 0 . Dessa forma V ( x , y ) será definida positiva, e com isso teremos que o ponto crítico será assintoticamente estável.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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