Enunciado

Considere o sistema

em que a, σ, α, c e γ são constantes positivas. . Mostre que existe um valor de σ entre zero e aγ/c onde o ponto crítico no interior do primeiro quadrante muda de um ponto espiral para um nó.

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para encontrarmos a trajetória a partir das equações. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser pegar as equações e arrumar a casa.

d x d t = x a - σ x - α y = 0  

d y d t = y - c + γ x = 0

Passo 3

Pronto!! Agora é só fazermos umas matemágicas aí pra achar o resultado!!

J = a - 2 σ x - α y - α x γ y - c + γ x

J 0,0 = a 0 0 - c → p o n t o   d e   s e l a

J a σ , 0 = - a - α a σ 0 - c + γ a σ → p o n t o   d e   s e l a

J c γ , a α - σ c γ α = - σ c / γ - α c γ γ a α - σ c α 0 → a s s i n t o t i c a m e n t e   e s t á v e l

σ 1 = a γ c

Resposta

σ 1 = a γ c

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