Enunciado

Encontrando um centro de massa e momento de inércia: encontre o centro de massa e o momento de inercia em relação ao eixo y de uma placa retangular fina cortada no primeiro quadrante pelas retas x = 6 e y = 1 se δ x , y = x + y + 1

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Temos dado pelo enunciado que:

x ∈ 0,6

y ∈ 0,1

E dada a densidade, já temos tudo o que precisamos para encontra, por exemplo o momento de inércia por:

I y = ∬ δ   d x   d y

Passo 2

Para M:

M = ∫ 0 1 ∫ 0 6 x + y + 1 d x   d y

∫ 0 1 1 2 x 2 0 6 + y x 0 6 + x 0 6 d y

∫ 0 1 6 y + 4   d y

3 y 2 0 1 + 24 y 0 1

M = 27

Para M x :

M x = ∫ 0 1 ∫ 0 6 y x + y + 1 d x   d y

∫ 0 1 y 2 x 2 0 6 + y 2 x 0 6 + y x 0 6   d y

∫ 0 1 ( 6 y y + 4 )   d y

2 y 3 0 1 + 12 y 2 0 1   )  

M x = 14

Para M y :

M y = ∫ 0 1 ∫ 0 6 x x + y + 1   d x   d y

∫ 0 1 1 3 x 3 0 6 + y 2 x 2 0 6 + 1 2 x 2 0 6 d y    

∫ 0 1 18 5 + y   d y

18 5 x 0 1 + 1 2 x 2 0 1

M y = 99

Temos que:

X c . m = M y M

Y c . m = M x M

Logo:

X c . m = 99 27 = 11 3

Y c . m = 14 27

Passo 3

Para I y :

I y = ∫ 0 1 ∫ 0 6 x 2 x + y + 1 d x   d y    

∫ 0 1 1 4 x 4 0 6 + y 3 x 3 0 6 + 1 3 x 3 0 6 d y

∫ 0 1 6 2 11 + 2 y   d y

6 2 11 x 0 1 + y 2 0 1

I y = 432

Resposta

X c . m = 11 3

Y c . m = 14 27

I y = 432

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