Enunciado

Numa cidade com 11.000 habitantes, a taxa de crescimento de uma epidemia é diretamente proporcional ao produto dos números de pessoas infectadas e não-infectadas. Determine o número de pessoas infectadas quando a taxa de crescimento da epidemia for máxima.

Passo 1

Para resolver essa questão, vamos montar um sistema com a sendo o número de pessoas infectadas e b o de pessoas não-infectadas. Como existem 11.000 habitantes, temos:

a + b = 11.000

E já que a taxa é diretamente proporcional ao produto, temos:

T = k ( a b )

Precisamos determinar a quando T for máxima.

Vamos substituir a = 11.000 - b em T .

T = k 11.000 - b b = k 11.000 b - b 2 = - k b 2 + 11.000 k b

T ( b ) = - k b 2 + 11.000 k b

Agora nos temos a função taxa dependendo dos valores de b , lembre-se que k é uma constante de proporcionalidade.

Passo 2

Para achar o máximo de T nós derivamos e igualamos a 0 , mas já podemos perceber que, em termos de gráfico, teríamos uma parábola com concavidade para baixo, o que gera um máximo absoluto.

T ' b = - 2 k b + 11.000 k = 0                 →                   2 k b = 11.000 k

Para k ≠ 0 , 2 b = 11.000       →         b = 5500 .

Dessa forma, o número de infectados será a = 5500 quando a taxa for máxima. Como a questão falou em taxa de CRESCIMENTO, nosso k > 0 .

Resposta

5500

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