Enunciado

Ache o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pelas curvas y = x 3 e x = y 3 em torno do eixo x. Tome os elementos retangulares de área paralelos ao eixo de revolução.

Passo 1

Primeiro vamos utilizar a imagem abaixo para saber qual região estamos usando para fazer a rotação:

A curva azul será x = y 3 e a vermelha y = x 3 . Como a região é simétrica em relação á origem, precisamos apenas rotacionar um dos ‘pedaços’ e multiplicar por 2 para obtermos a área da região. Usaremos a equação de volume por invólucro cilíndrico:

V = 2 π ∫ a b x f x d x

Passo 2

Vamos pegar o pedaço de cima, como o enunciado pede para fazermos a integral com elementos retangulares paralelos ao eixo x, eles serão horizontais, e por isso integraremos em y. Para escrevermos a f(y), vamos precisar subtrair a função mais à direita, que é a vermelha pela função que está à esquerda no pedaço de cima:

f y = y 1 3 - y 3

E o x na equação será substituído apenas por y, para fazermos a rotação em torno do eixo x. Os limites de integração serão y = 0 , onde a curva vermelha limita, e y = 1 , onde a curva azul limita. Nossa integral então ficará:

V = 2 π ∫ 0 1 y y 1 3 - y 3 d y

Passo 3

Agora vamos resolver a integral, primeiro reescrevemos o integrando:

V = 2 π ∫ 0 1 y 4 3 - y 4 d y

Integrando cada termo:

V = 2 π 3 7 y 7 3 - 1 5 y 5 1 0

Substituindo os limites:

V = 2 π 3 7 - 1 5 = 16 35 π

Esse é o volume para o pedaço de cima, agora basta multiplicar esse resultado por 2 para obtermos o volume das duas partes juntas:

V = 32 35 π

Resposta

V = 32 35 π

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