Enunciado

Nos exercícios de 21 a 24, a região é limitada pelas curvas x = y 2 - 2   e   x = 6 - y 2   gira em torno do eixo indicado. Ache o volume do sólido gerado.

23.a reta x = 2

Passo 1

Vamos primeiro observar a figura abaixo para sabermos qual a região limitada pelas curvas:

Primeiro escolhemos se o elemento retangular será vertical ou horizontal e então aplicamos a equação

V = 2 π ∫ a b x f x d x

Para obtermos o volume

Passo 2

Como dá para perceber pela imagem, ela é simétrica em relação à reta que estamos usando como eixo de rotação, por isso precisamos pegar apenas um dos lados para rotacionarmos, pegaremos o direito, que respeita a função   x = 6 - y 2 .

Reescrevendo a função, para deixar x como variável:

y = 6 - x

Vamos considerar um elemento retangular vertical, então os limites de integração estarão escritos com relação a x, x   ϵ   [ 2 ,   6 ] .

A equação então ficará da seguinte maneira:

V = 2 π ∫ 2 6 ( x - 2 ) 6 - x d x

O x da função anterior foi substituído por x - 2 porque nós não estamos rotacionando em relação à origem.

Passo 3

Agora precisamos resolver a integral:

V = 2 π ∫ 2 6 ( x - 2 ) 6 - x d x

Fazendo a substituição u = 6 - x ,     x = 6 - u 2 → d x = - 2 u d u , e os limites de integração passarão a ser x = 2 → u = 2   e   x = 6 → u = 0 , ficamos então com:

V = - 2 π ∫ 2 0 6 - u 2 - 2 u 2 u d u

V = - 8 π ∫ 2 0 4 u 2 - u 4 d u

Invertendo os limites:

V = 8 π ∫ 0 2 4 u 2 - u 4 d u

Integrando cada termo:

V = 8 π 4 3 u 3 - 1 5 u 5 2 0

Substituindo os limites superior e inferior:

V = 8 π 32 3 - 32 5 = 512 π 15

Resposta

V = 512 π 15

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A região delimitada pelas curvas dadas é girada em torno do eixo especificado . Ache o volume do sólido resultante porqualquer método . y 2 - x 2 = 1 , y = 2 torno do eixo x .
Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas em torno do eixo y .
Escreva a integral para o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado. Use sua calculadora para determinar a integral com precisão de cin
Escreva a integral para o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado. Use sua calculadora para determinar a integral com precisão de cin
Escreva a integral para o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado. Use sua calculadora para determinar a integral com precisão de cin