Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 13.4 - Ex. 29
Uma cidade medieval tem a forma de um quadrado e é protegida por muralhas com comprimento de e altura de . Você é o comandante de um exército atacante e o mais próximo que pode chegar da muralha é . Seu plano é incendiar a cidade arremessando com catapultas rochas aquecidas sobre a muralha (com velocidade escalar inicial de ). Em que intervalo de ângulos você deve dizer a seus homens para armar a catapulta? (Suponha que a trajetória das rochas seja perpendicular à muralha).
Passo 1
Olá, tudo bem? Para resolver essa questão vamos fazer um desenho e pegar todas as informações que o enunciado trás.
A catapulta está a atrás da primeira muralha e a uma distância de da segunda muralha. A altura que a rocha deve atingir é o topo da muralha (que tem de altura), tanto na muralha mais próxima, quanto na muralha mais distante. Sendo assim, devemos encontrar uma equação para o alcance de cada muralha. As posições são e .
Passo 2
Agora podemos montar o vetor posição em função do tempo :
Beleza até aqui?
Passo 3
Para a muralha mais próxima, a componente horizontal do vetor posição nos dá o tempo que a rocha leva para chegar até a posição horizontal de . Resgatando ali do passo a componente horizontal temos:
Agora é só substituir esse valor de na componente vertical da posição e assim ter uma expressão apenas em , sacou? Bora lá? Admitindo que a catapulta está na origem das posições, a componente vertical da posição é:
Agora substituindo o valor de temos:
Vamos arrumar um pouco essa expressão pra ficar mais simpática:
Agora vamos lembrar da identidade trigonométrica e substituir na equação ali em cima:
Dividindo toda a equação por ficamos:
Uma equação de segundo grau em . Parece estranha, mas vamos trocar por , daí você vai achar mais tranquilo (não faz sentido, eu sei, mas funciona kkk):
Viu, agora não assusta tanto, não é? Pela fórmula de bháskara:
Como , temos dois valores a serem considerados:
Então a variação de
Passo 4
Para a muralha mais distante, a componente horizontal do vetor posição nos dá o tempo que a rocha leva para chegar até a posição horizontal de . Resgatando ali do passo a componente horizontal temos:
Agora é só substituir esse valor de na componente vertical da posição e assim ter uma expressão apenas em , sacou? Bora lá? Admitindo que a catapulta está na origem das posições, a componente vertical da posição é:
Agora substituindo o valor de temos:
Vamos arrumar um pouco essa expressão pra ficar mais simpática:
Agora vamos lembrar da identidade trigonométrica e substituir na equação ali em cima:
Dividindo toda a equação por ficamos:
Uma equação de segundo grau em . Parece estranha, mas vamos trocar por , daí você vai achar mais tranquilo (não faz sentido, eu sei, mas funciona kkk):
Viu, agora não assusta tanto, não é? Pela fórmula de bháskara:
Como , temos dois valores a serem considerados:
Então a variação de