Enunciado

Uma cidade medieval tem a forma de um quadrado e é protegida por muralhas com comprimento de 500 m e altura de 15 m . Você é o comandante de um exército atacante e o mais próximo que pode chegar da muralha é 100 m . Seu plano é incendiar a cidade arremessando com catapultas rochas aquecidas sobre a muralha (com velocidade escalar inicial de 80 m / s ). Em que intervalo de ângulos você deve dizer a seus homens para armar a catapulta? (Suponha que a trajetória das rochas seja perpendicular à muralha).

Passo 1

Olá, tudo bem? Para resolver essa questão vamos fazer um desenho e pegar todas as informações que o enunciado trás.

A catapulta está a 100 m atrás da primeira muralha e a uma distância de 600 m da segunda muralha. A altura que a rocha deve atingir é o topo da muralha (que tem 15 m de altura), tanto na muralha mais próxima, quanto na muralha mais distante. Sendo assim, devemos encontrar uma equação para o alcance de cada muralha. As posições são ( 100,15 ) e ( 600,15 ) .

Passo 2

Agora podemos montar o vetor posição em função do tempo t :

r → t = v 0 x t i → + y 0 + v 0 y t - g t 2 2 j →

r → t = v 0 cos ⁡ θ . t i → + y 0 + v 0 s e n ( θ ) t - g t 2 2 j →

Beleza até aqui?

Passo 3

Para a muralha mais próxima, a componente horizontal do vetor posição nos dá o tempo que a rocha leva para chegar até a posição horizontal de 100 m . Resgatando ali do passo 2 a componente horizontal temos:

100 = v 0 c o s ⁡ ( θ ) t

t = 100 v 0 c o s ⁡ ( θ )

Agora é só substituir esse valor de t na componente vertical da posição e assim ter uma expressão apenas em θ , sacou? Bora lá? Admitindo que a catapulta está na origem das posições, a componente vertical da posição é:

y = y 0 + v 0 s e n θ t - g t 2 2

15 = v 0 s e n ( θ ) t - g t 2 2

Agora substituindo o valor de t = 100 v 0 c o s ⁡ ( θ ) temos:

15 = v 0 s e n θ . 100 v 0 c o s ⁡ ( θ ) - g 2 100 v 0 cos ⁡ θ 2

Vamos arrumar um pouco essa expressão pra ficar mais simpática:

15 = 100 t g θ - 4,9.100 2 80 2 sec 2 ⁡ ( θ )

Agora vamos lembrar da identidade trigonométrica sec 2 ⁡ ( θ ) = 1 + t g 2 ( θ ) e substituir na equação ali em cima:

15 = 100 t g θ - 7,65 1 + t g 2 θ

7,65 t g 2 θ - 100 t g θ + 15 + 7,65 = 0

7,65 t g 2 θ - 100 t g θ + 22,65 = 0

Dividindo toda a equação por 7,65 ficamos:

t g 2 θ - 13,07 t g θ + 2,96 = 0

Uma equação de segundo grau em t g ( θ ) . Parece estranha, mas vamos trocar t g θ por u , daí você vai achar mais tranquilo (não faz sentido, eu sei, mas funciona kkk):

u 2 - 13,07 u + 2,96 = 0

Viu, agora não assusta tanto, não é? Pela fórmula de bháskara:

u = - ( - 13,07 ) ± ( - 13,07 ) 2 - 4.1 . ( 2,96 ) 2.1

u = 13,07 ± 12,08 2

Como u = t g ( θ ) , temos dois valores a serem considerados:

t g θ 1 = 12,57 ∴ θ 1 = 85,45 °

t g θ 2 = 0,99 ∴ θ 2 = 26,33 °

Então a variação de 26,33 ° < θ < 85,45 °

Passo 4

Para a muralha mais distante, a componente horizontal do vetor posição nos dá o tempo que a rocha leva para chegar até a posição horizontal de 600 m . Resgatando ali do passo 2 a componente horizontal temos:

600 = v 0 c o s ⁡ ( θ ) t

t = 600 v 0 c o s ⁡ ( θ )

Agora é só substituir esse valor de t na componente vertical da posição e assim ter uma expressão apenas em θ , sacou? Bora lá? Admitindo que a catapulta está na origem das posições, a componente vertical da posição é:

y = y 0 + v 0 s e n θ t - g t 2 2

15 = v 0 s e n ( θ ) t - g t 2 2

Agora substituindo o valor de t = 600 v 0 c o s ⁡ ( θ ) temos:

15 = v 0 s e n θ . 600 v 0 c o s ⁡ ( θ ) - g 2 100 v 0 cos ⁡ θ 2

Vamos arrumar um pouco essa expressão pra ficar mais simpática:

15 = 600 t g θ - 4,9.600 2 80 2 sec 2 ⁡ ( θ )

Agora vamos lembrar da identidade trigonométrica sec 2 ⁡ ( θ ) = 1 + t g 2 ( θ ) e substituir na equação ali em cima:

15 = 600 t g θ - 275,62 1 + t g 2 θ

275,62 t g 2 θ - 600 t g θ + 15 + 275,62 = 0

275,62 t g 2 θ - 600 t g θ + 290,62 = 0

Dividindo toda a equação por 275,62 ficamos:

t g 2 θ - 2,17 t g θ + 1,054 = 0

Uma equação de segundo grau em t g ( θ ) . Parece estranha, mas vamos trocar t g θ por u , daí você vai achar mais tranquilo (não faz sentido, eu sei, mas funciona kkk):

u 2 - 2,17 u + 1,054 = 0

Viu, agora não assusta tanto, não é? Pela fórmula de bháskara:

u = - ( - 2,17 ) ± ( - 2,17 ) 2 - 4.1 . ( 1,054 ) 2.1

u = 2,17 ± 0,70 2

Como u = t g ( θ ) , temos dois valores a serem considerados:

t g θ 1 = 1,435 ∴ θ 1 = 55,12 °

t g θ 2 = 0,735 ∴ θ 2 = 36,31 °

Então a variação de 36,31 ° < θ < 55,12 °

Resposta

26,33 ° < θ < 85,45 °   e   36,31 ° < θ < 55,12 °

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