Enunciado

Use a primeira identidade de Green para mostrar que se f for harmônica em D , e se f x , y = 0 na curva fronteira C , então ∫ ∫ D ∇ f 2 d A = 0 . (Suponha que são válidas as mesmas hipóteses do exercício 33 ).

Passo 1

Oi galera, tudo bem? Partindo da identidade de Green temos:

∬ D g ∇ 2 f d A = ∮ C g ∇ f ⋅ n → d S - ∬ D ( ∇ f ⋅ ∇ g ) d A

Como f x , y = 0 na fronteira, então ∇ f = 0 , então:

∬ D g ∇ 2 f d A = - ∬ D ( ∇ f ⋅ ∇ g ) d A

Passo 2

Sabemos que f é harmônica, então ∇ 2 f = 0 . Assim a expressão final do passo 1 fica:

∬ D ( ∇ f ⋅ ∇ g ) d A = 0

E admitindo que f = g e que ∇ f ⋅ ∇ f = ∇ f 2 , assim:

∬ D ( ∇ f 2 ) d A = 0

Resposta

∬ D ( ∇ f 2 ) d A = 0

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Calcule o rotacional. F → x , y , z = x y i → - x 2 j →
Considere o campo de força central g → x , y = f r → r → onde f :R → R é uma função derivável e r → = x i → + y j → . Calcule r o tg → .
Considere o escoamento v → x , y =- y ( x 2 + y 2 ) α i → + x ( x 2 + y 2 ) α j → Onde α0 é uma constante. Verifique que r o tv → x , y ≠ 0 → para α ≠ 1 .
Considere o escoamento bidimensional v → x , y =- y x 2 + y 2 i → + x x 2 + y 2 j → .Desenhe tal campo.Calcule r o tv → e interprete-o.
Seja F → = P i → + Q j → uma campo vetorial de R 2e mR 2 , com PeQ diferenciáveis. Sejam u → = cos ⁡ αi → + s e nαj → e v → = - s e nα i → + cos ⁡ αj → , onde α ≠ 0 é um real dado. Seja s , t as coord