Enunciado

Um circuito em série te um capacitor de 10 - 3 F , um resistor de 3 × 10 2 Ω e um indutor de 0,2 H . A carga inicial do capacitor é 10 - 6 C e não há corrente incial. Encontre a carga Q no capacitor em qualquer instante t .

Passo 1

Equacionando nosso problema, temos que a relação entre carga Q e a corrente I é dada por

I = d Q / d t

Assim chegamos que pela lei de Kirchhoff

L d I d t + R I + 1 C Q = E ( t )

Olhar Eq.(31) e (32)

Substtituindo uma na outra, temos

L Q ' ' + R Q ' + 1 C Q = E ( t )

Nossa equação diferencial

Passo 2

Vamos lá!!!

Vamos simplesmente considerar que a energia não varia no temo, ou seja, E t = 0

Assim temos

2 × 10 - 1 Q ' ' + 3 × 10 2 Q ' + 10 3 Q = 0

Dividindo tudo por 10 - 1

2 Q ' ' + 3 × 10 2 Q ' + 10 4 Q = 0

Supondo como solução e r t , chegamos na equação característica do nosso sistema com

2 r 2 + 3 × 10 2 r + 10 4 = 0

Que tem como solução

r = - 75 ± 25

Q = A e - 50 t + B e - 100 t

E sua derivada

Q ' = - 50 A e - 50 t - 100 B e - 100 t  

Com condições iniciais

Q 0 = A + B = 10 - 6 C Q ' 0 = - 50 A - 100 B = 0

Assim

A = 2 × 10 - 6 B = - 10 - 6

E assim temos

Q ( t ) = 10 - 6 e - 50 t + e - 100 t

Resposta

Q ( t ) = 10 - 6 e - 50 t + e - 100 t

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