Enunciado

Um circuito em série contém um resistor com R = 24 Ω , um indutor com L = 2 H , um capacitor C = 0,005 F e uma pilha de 12 V . A carga inicial é Q = 0,001 C e a corrente inicial é 0 .

  1. Determine a carga e a corrente no instante t .
  2. Faça o gráfico das funções carga e corrente.

Passo 1

Olá, tudo bem? Vamos lá? Essa é uma questão clássica de prova! Quando um circuito R L C está ligado em série ele pode ser descrito pela seguinte equação diferencial de segunda ordem:

L d 2 Q d t 2 + R   d Q d t + Q C = E ( t )

Como os valores de resistência R = 24 Ω , indutância L = 2 H , de capacitância C = 0,005 F e de diferença de potencial E = 12 V , podemos montar a equação associada a esse circuito:

2 d 2 Q d t 2 + 24 d Q d t + 200 Q = 12

Passo 2

A equação diferencial de segunda ordem homogênea associada é:

2 d 2 Q d t 2 + 24 d Q d t + 200 Q = 0

E a equação característica é:

λ 2 + 12 λ + 100 = 0

Usando a fórmula de Bháskara temos:

λ = - 12 ± 12 2 - 4 . 1.100 2 . 1 = - 12 ± - 16 2

λ = - 6 ± 8 i

Aqui temos como solução duas raízes complexas e a solução da equação homogênea é dada por uma combinação linear de seno e cosseno:

Q h t = e - 6 t c 1 s e n 8 t + c 2 cos ⁡ 8 t

Agora vamos à solução particular? Partiu?

Passo 3

A equação completa é:

2 d 2 Q d t 2 + 24 d Q d t + 200 Q = 12

Por meio do método dos coeficientes indeterminados, podemos supor uma solução particular do tipo constante:

Q p t = C

Agora temos que derivar uma e depois mais uma vez e substituir na equação completa para determinar o valor de C . Mas como tanto a derivada primeira, quanto a segunda são zero, temos:

2.0 + 24.0 + 200 . C = 12

Assim a constante é:

C = 12 200 = 0,06

E a solução da equação particular associada é:

Q p t = 0,06

Passo 4

Agora juntando as duas soluções teremos:

Q t = Q h t + Q p ( t )

Q t = e - 6 t c 1 s e n 8 t + c 2 cos ⁡ 8 t + 0,06

Como se trata de um problema de valor inicial, podemos encontrar as constantes c 1 e c 2 .

No instante inicial a carga total é Q 0 = 0,001 C , então fazendo t = 0 na solução vamos ter:

Q 0 = e 0 c 1 . 0 + c 2 . 1 + 0,06 = 0,001

Daqui podemos tirar o valor de c 2 :

c 2 + 0,06 = 0,001

c 2 = 0,001 - 0,06 = - 0,059

Passo 5

Agora vamos aplicar a outra condição de contorno: a corrente inicial é zero. Sabendo que corrente é a derivada temporal da carga, podemos derivas a solução em relação ao tempo:

i t = d Q d t = - 6 e - 6 t c 1 s e n 8 t + c 2 cos ⁡ 8 t + e - 6 t ( 8 c 1 cos ⁡ 8 t - 8 c 2 s e n ( 8 t ) )

E sabendo que i 0 = 0 temos:

i 0 = - 6 c 1 . 0 + c 2 . 1 + 8 c 1 . 1 - 8 c 2 . 0 = 0

- 6 c 2 + 8 c 1 = 0

c 1 = 6 c 2 8 = 6 8 - 0,059 = - 0,044

Assim o sistema está totalmente definido.

A carga em função do tempo é:

Q t = e - 6 t - 0,044 s e n 8 t - 0,059 cos ⁡ 8 t + 0,06

E a corrente em função do tempo:

i t = e - 6 t - 6 c 1 - 8 c 2 ) s e n 8 t + 8 c 1 - 6 c 2 cos ⁡ 8 t

i t =   e - 6 t [ 0,736 s e n ( 8 t ) ]

E o gráfico da carga:

E da corrente em função do tempo:

Resposta

Q t = e - 6 t - 0,044 s e n 8 t - 0,059 cos ⁡ 8 t + 0,06

i t =   e - 6 t [ 0,736 s e n ( 8 t ) ]

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