Enunciado

Encontre as curvas das trajetórias ortogonais de 3 x y 2 = 2 + 3 c 1 x que passam por 0 ,   10 .

Passo 1

E aí, vamos lá entender esse probleminha?

Queremos as trajetórias ortogonais da família de curvas dada por   3 x y 2 = 2 + 3 c 1 x e que passam por 0 ,   10 .

A gente viu que pra encontrar as trajetórias ortogonais, primeiro vamos encontrar a equação diferencial d y d x = f ( x , y ) , e aí a equação diferencial da família ortogonal vai ser

d y d x = - 1 f ( x , y )

Aí é só resolver pra encontrarmos a forma genérica das trajetórias ortogonais

Pra encontrarmos as curvas que passam por 0 ,   10 , vamos substituir x = 0 e y = 10 na equação encontrada para aí encontrarmos o valor da constante c , vamos lá?

Passo 2

Vamos começar encontrando a equação diferencial d y d x = f ( x , y ) , para isso, vamos derivar a função dada no enunciado:

3 x y 2 = 2 + 3 c 1 x       ( I )

Usando a regra da cadeia (pra derivarmos o y ) e a regra do produto:

3 . y 2 + 3 x . 2 y . d y d x = 3 c 1

3 . y 2 + 6 x y . d y d x = 3 c 1

Vamos isolar o d y d x :

3 . y 2 + 6 x y . d y d x = 3 c 1

d y d x = 3 c 1 - 3 y ² 6 x y

Olha, dá pra dividirmos em cima e embaixo por 3:

d y d x = c 1 - y ² 2 x y       ( I I )

Humm vamos isolar o c 1 lá na equação ( I ) , pra aí podermos substituir na equação ( I I )

3 x y 2 = 2 + 3 c 1 x

3 c 1 x = 3 x y 2 - 2

c 1 = 3 x y 2 - 2 3 x

Substituindo em ( I I ) :

d y d x = 3 x y 2 - 2 3 x - y ² 2 x y

Bora fazer um MMC nesse y ² aí:

d y d x = 3 x y 2 - 2 3 x - y 2 . 3 x 3 x 2 x y

d y d x = 3 x y 2 - 2 - 3 x y ² 3 x 2 x y

d y d x = - 2 3 x 2 x y

Então, a equação diferencial da família dada é

d y d x = - 2 6 x ² y

d y d x = - 1 3 x ² y

Passo 3

Agora que temos a equação diferencial da família dada, podemos encontrar a equação diferencial da família ortogonal simplesmente invertendo, igual vimos lá no passo 1. Olha, temos

d y d x = - 1 3 x ² y

Se invertermos o lado direito e acrescentarmos um sinal de menos, temos a equação diferencial da família ortogonal:

d y d x = - ( - 3 x ² y )

d y d x = 3 x ² y

Agora é só resolvermos essa equação diferencial :P

Passo 4

Temos

d y d x = 3 x ² y

Podemos escrever assim olha, que aí fica mais bonitinho:

1 y d y = 3 x 2 d x

Ihá, agora é só integrar dos dois lados:

∫ 1 y d y = ∫ 3 x 2 d x

ln ⁡ | y | = 3 . x 3 3 + c

ln ⁡ | y | = x 3 + c

Por propriedade de logaritmo:

e x 3 + c = y

Belezinha, essa é a equação que descreve as trajetórias ortogonais, mas precisamos do valor de c para encontrarmos qual a curva que passa por ( 0,10 )

Para isso, vamos substituir x = 0 e y = 10 na equação que encontramos beleza?

Passo 5

Temos que as trajetórias ortogonais são descritas por

e x 3 + c = y

Fazendo x = 0 e y = 10 :

e 0 3 + c = 10

e c = 10

c = ln ⁡ 10

Substituindo esse valor de c na nossa equação:

e x 3 + ln ⁡ 10 = y

Agora vamos aplicar propriedade de potência:

e x 3 . e ln ⁡ 10 = y

Mas cara, e ln ⁡ 10 é o próprio 10 né? Então a equação que tanto procuramos é

y = 10 . e x 3

Resposta

y = 10 . e x 3

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