Enunciado

38. Para a circunferência x 2 + y 2 = r 2 ,   mostre que a reta tangente em todo ponto ( x 1 , y 1 ) da curva é perpendicular à reta que passa por ( x 1 , y 1 ) e pelo centro da circunferência

Passo 1

Neste caso, primeiro devemos determinar o coeficiente angular da reta tangente a curva , depois determinar o coeficiente angular da reta que passa pelo ponto dado e pelo centro da circunferência para então comparar os seus coeficientes angulares e mostrar que a reta é perpendicular.

Para isso, devemos saber que a equação da reta tangente tem a seguinte forma : y = ax + b, em que a é o coeficiente angular e pode ser obtido a partir da derivada da função dada no enunciado e b é o coeficiente linear e pode ser obtido após encontrar a, substituindo os valores do ponto dado no enunciado.

Para derivar a função em questão pode-se utilizar do conceito de derivação implícita, que é mais uma técnica a ser utilizada para encontrarmos a derivada de uma dada função. Esta técnica é bem útil quando estamos diante de funções em que não é possível isolar y em função de x ou vice –versa.

Para resolver questões por derivação implícita basta seguir os seguintes itens

  1. Derivar ambos os lados da igualdade, utilizando técnicas de derivação como a regra da cadeia, regra do produto e do quociente;
  2. Ao lado de cada derivada encostar uma fracão d_/d_ em que no espaço vazio do denominador você fixa uma variável e no espaço vazio do numerador você coloca a variável na qual acabou de derivar;
  3. Após o passo anterior basta isolar, por meio de operações matemáticas básicas, o que está sendo pedido no enunciado.

Passo 2

Como dito anteriormente, o coeficiente angular ( a )  é obtido a partir da derivada da função dada no problema, sendo assim

2 x d x d x + 2 y d y d x = 0

d y d x 2 y =   - 2 x

d y d x =   - 2 x 2 y

a = f ´ x = d y d x = - x y

Passo 3

Aplicando o ponto dado (x1,y1) na expressão de (a) para encontrar o seu valor neste ponto

Temos

a = -   x 1 y 1

Então, até agora temos que a equação da reta tangente à curva no ponto está da seguinte forma 

y = - x 1 y 1 .(x) + b

Passo 4

O coeficiente angular da reta que passa pelo ponto (x1,y1) e pelo centro da circunferência de equação dada no enunciado pode ser determinada da seguinte forma

m x 1 - 0 = y 1 - 0  

m = y 1 x 1

Passo 5

Devemos saber que , para duas retas serem perpendiculares o produto entre seus coeficientes angulares tem que ser igual a -1. Assim, para mostrar o que o enunciado pede basta que aconteça isso. Fazendo o produto dos coeficientes angulares temos

a . m = - x 1 y 1   . y 1 x 1 = - 1

Sendo assim, podemos afirmar que a reta tangente em todo ponto (x1,y1) da curva é perpendicular à reta que passa por (x1,y1) e pelo centro da circunferência.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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