Enunciado

Nos exercícios 9 a 20, determine os pontos nos quais a curva dada tem retas tangentes verticais e horizontais. Faça um esboço do gráfico e mostre essas retas tangentes

12. r = 3 - 2 s e n θ

Passo 1

Como o enunciado nos fala sobre retas tangentes, precisaremos aplicar a seguinte equação, para obtermos as inclinações delas:

t g α = t g θ d r d θ + r d r d θ - r t g θ

Primeiro vamos encontrar   d r d θ :

d r d θ = - 2 c o s θ

Substituindo o resultado e a equação de r na equação da inclinação:

t g α = - 2 t g θ c o s θ + 3 - 2 s e n θ - 2 c o s θ - 3 - 2 s e n θ t g θ

Passo 2

Para obtermos as retas horizontais, vamos igualar o denominador da equação acima a zero, pois as retas horizontais possuem inclinação nula:

- 2 t g θ c o s θ + 3 - 2 s e n θ = 0

Reescrevendo:

- 2 s e n θ c o s θ c o s θ + 3 - 2 s e n θ = 0

- 2 s e n θ + 3 - 2 s e n θ = 0

s e n θ = 3 4 → θ ≅ 0,84   e   θ ≅ 2,30

E então podemos obter o valor de r:

r = 3 - 2 3 4 = 3 2

E as coordenadas cartesianas para θ ≅ 0,84 serão:

x = 3 2 cos ⁡ 0,84 ≅ 1

y = 3 2 s e n 0,84 ≅ 1 , 1 2

Agora para θ ≅ 2,30 :

x = 3 2 cos ⁡ 2,30 ≅ - 1

y = 3 2 sin ⁡ 2,30 ≅ 1,12

Uma reta tangente horizontal passa em dois pontos - 1 ,   1,12 e 1 ,   1,12 .

Passo 3

Para as retas verticais precisamos igualar o denominador a zero, pois dessa maneira a inclinação tende a infinito:

- 2 c o s θ - 3 - 2 s e n θ t g θ = 0

Reescrevendo:

- 2 c o s θ - 3 - 2 s e n θ s e n θ c o s θ = 0

- 2 c o s 2 θ - 3 - 2 s e n θ s e n θ = 0

- 2 c o s 2 θ - 3 s e n θ + s e n 2 θ = 0

Usaremos a seguinte propriedade trigonométrica:

s e n 2 θ + c o s 2 θ = 1

c o s 2 θ = 1 - s e n 2 θ

Ficando com:

- 2 + 2 s e n 2 θ - 3 s e n θ + s e n 2 θ = 0

3 s e n 2 θ - 3 s e n θ - 2 = 0

s e n 2 θ - s e n θ - 2 3 = 0

Aplicando a Fórmula de Bhaskara para o seno (consideraremos apenas o valor negativo, pois o outro não é um ponto de uma reta tangente vertical):

s e n   θ =   1 - 11 3 2 → θ ≅ - 0,46   e   θ ≅ - 2,68  

Agora encontraremos o valor de r:

r = 3 - 2 1 - 11 3 2 ≅ 3 , 9 1

Em coordenadas cartesianas para θ ≅ - 0,46

x = 3,91 cos ⁡ - 0,46 ≅ 3,51

y = 3,91 s e n - 0,46 ≅ - 1,74

E para θ ≅ - 2,68 :

x = 3,91 cos ⁡ - 2,68 = - 3,51

y = 3,91 sen ⁡ - 2,68 = - 1,74

Os pontos em que as retas verticais passam tangenciando a curva serão ( 3,51 ,   - 1,74 ) e - 3,51 ,   - 1,74

Passo 4

O esboço do gráfico será:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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