Enunciado

Um cocho tem 10 pés de comprimento, e sua extremidades têm a forma de triângulos isósceles com 3 pés na base e 1 pé de altura. Se o cocho for preenchido com água a uma taxa de 12 p é s 3 / m i n , quão rápido estará se elevando o nível da água quando estiver 6 polegadas de profundidade?

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você??Vamos analisar o que nosso probleminha está falando.

Bom, ele nos diz que temos um cocho de 10 pés de comprimento, a lateral tem base igual a 3 pés e altura igual a 1 pé e é um triângulo isósceles.

Depois, ele nos diz que está enchendo tudo com água até 6 polegadas de profundidade a uma taxa de 12 p é s 3 / m i n , e nos pede a velocidade que o cocho está enchendo.

Tem ideia de como fazemos isso?

Caso você não saiba, um cocho é um recipiente grande que é usado para colocar comida/água para bois.

Para encontrar a taxa de elevação de nível de água quando a altura da água estiver em 6 polegadas, vamos primeiro determinar o volume do cocho e tentar escrever esse volume como uma função da altura. Assim, como estamos tratando de taxas de variação, podemos derivar o volume em relação ao tempo, que nos resulta no valor de 12 p é s 3 / m i n (dado no enunciado) e a partir da taxa relacionada à altura da água, encontrar a taxa de variação da água.

Entendeu alguma coisa? Bora ver na prática!

Passo 2

Primeiro vamos desenhar nosso cocho com as informações dadas no enunciado

O volume desse cocho é a area lateral do triangulo multiplicado pelo seu comprimento

V = b h 2 c

Nosso primeiro passo vai ser fazer a semelhança de triângulos para definir a base b em função da altura h .

3 1 = b h

b = 3 h

Com essa relação, sabendo que c é constante, independente da altura, temos que o volume é:

V = b h 2 c = 3 h · h 2 · 10

V = 15 h 2

Show? Essa é nossa função volume em relação à altura h .

Passo 3

Com esse volume, vamos derivar os dois lados em relação a t , pois a taxa de enchimento de água dada no enunciado é em p é s 3 / m i n

d V d t = d 15 h 2 d t = 15 d h 2 d t

h é uma função do tempo pois ele representa a altura da água com o tempo, então derivamos aplicando a regra da cadeia.

d h 2 d t = 2 h d h d t

Substituindo em d V d t , temos

d V d t = 15 · 2 h d h d t

d V d t = 30 h d h d t

Esse valor d h / d t é justamente o valor que estamos procurando, que é a taxa de variação da altura. Então vamos isolá-lo d h d t = 1 30 h d V d t

Queremos a taxa de variação da altura, quando h = 6   p o l ... convertendo para p é s , temos que 1   p o l = 1 12 p é s , logo 6   p o l = 0,5   p é s .

Além disso, a taxa de enchimento do cocho é de 12   p é s 3 / m i n , ou seja

d h d t = 1 30 · 0,5 · 12

d h d t = 0,8   p é s / m i n

É isso! O que achou? Responde Aí!

Resposta

d h d t = 0,8   p é s / m i n

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